基于AR模型的大跨悬索桥脉动风速时程模拟*

白 泉，徐 樊，杨少波

(沈阳工业大学 建筑与土木工程学院，沈阳 110870)

随着桥梁结构建设的不断发展，大跨度桥梁不断出现在人们的视野中，而悬索桥是特大跨径桥梁的主要形式之一.该类桥梁是一种柔性风敏结构，其经济性能良好，适应性较强，但由于其结构本身的特性，该类桥梁的抗风计算不可忽略[1].抗风研究主要有风洞试验和数值模拟两类方法.风洞试验技术要求高，经费高昂[2]；数值模拟方法[3]方便快捷，操作简单，可进行多次模拟比较，得到广泛应用.目前，风速时程数值模拟方法主要有谐波叠加法、线性滤波法[4]以及小波分析法等[5].每种方法都有不同的特点，其中，线性滤波法具有计算量小和速度快的特点，同时能够考虑时间相关性，处理非线性的问题[6-7].根据结构特性，本文采用线性滤波法中的自回归(AR)模型，结合AIC准则确定了该模型的阶数，编制了脉动风速时程模拟程序.

1 风基本特征

(1)

1.1 平均风

平均风是在一定的观测时间段内，风压值大小和方向等不随时间而改变的量.Davenport等人对现场实测结果进行分析，认为平均风速沿高度变化的规律可用指数函数来表示[8]，即

(2)

1.2 脉动风

风的不规则性运动是脉动风形成的原因，所以脉动风的强度变化是随机的.这种强度的变化通常用功率谱密度函数来表达.Kaimal提出了沿高度变化的水平脉动风功率谱[9]，即

(3)

空间不同点在同一时刻，同时还具有空间相关性，对大跨度桥梁结构而言，应采用三维空间互相关密度函数rij(f)表示，即

(4)

式中，衰减系数cx、cy、cz分别取为16、8和10[10].

2 基于AR模型的脉动风速时程模拟

脉动风可作为零均值的平稳高斯随机过程来考虑.脉动风速时程向量vf(x，y，z，t)可以表示为

(5)

式中：Ψk为AR模型的自回归系数矩阵；p为AR模型阶数；N(t)为给定方差的随机过程向量；Δt为模拟风速的时间步长.

AR模型模拟风速时程采用一种处理时间序列的方法，即用同一风速之前各个时刻的数值，来预测本时刻的表现，并假设它们为线性.其中，自回归系数矩阵Ψk的求解是一项重要内容.

2.1 求解自回归系数Ψk

脉动风过程的协方差矩阵R与回归系数矩阵Ψ之间的关系[11]为

作者纵观汉语研究的历史，从语汇研究和瓯越语研究的历史及其现状入手，深刻剖析了瓯越语语汇研究的历史现实意义。指出从汉语研究历史来看，语汇的研究在中国古代早有零星记载，但未形成体系，只作为词汇研究的附属。在现代语言学研究的早期，人们也并未将语汇独立出来，而是仍将其作为词汇研究的一部分，语言研究的一个子系统。因此长期以来语汇研究处于汉语研究中相对薄弱的环节。

(6)

式中：I为M阶单位矩阵；Op为零矩阵.R作为自相关矩阵，其表达式为

(7)

自相关矩阵R可由功率谱密度函数和相干函数之间满足的维纳-辛钦公式求出，即

(8)

2.2 求随机过程N(t)和M个随机过程

对得到的矩阵RN进行Cholesky分解，可得

(9)

式中，n(t)=[n1(t)，n2(t)，…，nM(t)]T，ni(t)为均值为0、方差为1彼此相互独立的随机过程.进而得到独立的随机过程向量N(t)，最终的M个随机过程可以表示为

(10)

式中，当t≤0时，v(t)=0.

3 AR模型阶数p的确定

根据AIC准则，又称为最小信息准则[12]，脉动模拟风速时程模拟优先考虑AIC值最小的那一阶，因此，从p=1时开始试算，经过迭代法试算，随着p的增大，AIC值会逐渐减小，当其值趋于稳定时，p值即为所求模型的阶数.AIC准则函数为

AIC(p)=Qln(σ2)+2p

(11)

式中：Q=T，T为周期；σ2=2R(0)-R(Q).

4 工程实例模拟

沈阳东塔自锚式悬索桥的主桥部分长400 m，主桥为三跨自锚式悬索桥，主塔从桥面算起高50 m.基于MATLAB平台，依据前文所述过程和方法，编制模拟程序，对该桥的主梁、主缆及桥塔上的多点脉动风速时程进行数值模拟.

该工程地处沈阳市王家湾桥下游2 km处，地形平坦，地貌单元属河流冲积阶地，周围有庄稼地，未有高楼林立，MATLAB平台模拟需要的主要参数，均参考该工程实际得到，如表1所示.

表1 主要参数

为了与模拟多点的特性相符，本文目标谱采用Kaimal谱.根据结构分析需要，共模拟了78个点的脉动风速时程，点的位置如图1所示.图1中主桥部分共模拟了78个点，包括主梁、主缆各37个点，两主塔塔底和塔顶4个点，本文列出了其中几个点的脉动风速时程.根据AIC准则，确定模型阶数，针对阶数1～8进行计算，绘制出AIC值的变化曲线，如图2所示.从图2中可以看出，当p=4时，AIC值趋于稳定，所以本文AR模型阶数取p=4.

图1 悬索桥主桥风速模拟节点图

图2 AIC值变化曲线

4.1 关键点风速时程曲线

图3～5分别为桥梁的主梁、主塔及主缆的脉动风速时程曲线.

图3 20点(主梁中)脉动风速时程曲线

4.2 功率谱密度函数对比

图6～8分别为主梁中点、主缆中点及主塔顶点功率谱密度函数的模拟谱与目标谱的比较.从图中可以看出，拟合较好.

4.3 互相关函数对比

图9为主梁上18点与20点的互相关函数曲线.从图9中可以看出，互相关系数的最大值约为0.51，对模拟值和目标值进行了对比，曲线拟合较好，模拟的空间相关性合理.图10为主梁18点和27点的互相关函数目标值和模拟值对比曲线，可以看出相关性同样合理，最大值约为0.40，由此可知，距离越近的两个点空间相关性越强.

图4 59点(主缆中)脉动风速时程曲线

图5 71点(主塔顶)脉动风速时程曲线

图6 20点(主梁中)功率谱

图7 59点(主缆中)功率谱

图8 71点(主塔顶)功率谱

图9 主梁18和20点互相关函数

图10 主梁18和27点互相关函数

5 结 论

本文基于线性滤波法，编制了具有时间和空间相关性的脉动风速时程程序，根据工程实际确定了特定参数的取值，算例表明：

1)该程序采用AR模型计算速度快，使用方便，功率谱密度函数模拟谱与目标谱拟合较好，模拟精确；

2)模拟的脉动风互相关系数同目标互相关系数拟合较好，距离近的两点相关系数越大，空间相关性越强，距离越远的两点相关系数越小，空间相关性越弱；

3)用AIC准则确定了模型阶数，使得模拟更加准确、高效；

4)该方法可以推广到此类吊索结构和大跨度结构风速时程模拟，为工程结构抗风分析提供荷载输入.