追根溯源 挖掘本质——一道解析几何模考题的源与流

赵福余

(江苏省太仓高级中学，215400)

《高中数学课程标准》指出:“教学应基于学生已有的基础知识,从具体实例出发,展现数学知识的发生、发展过程,使学生能够从中发现问题、提出问题,经历数学的发现和创造过程,了解知识的来龙去脉.”本文笔者通过一道模考题,阐述教学的过程应在引导学生自主探索处留出充分的空间,以利于学生经历观察、实验、猜测、推理、交流、反思等过程.

一、试题呈现

(1)求椭圆C的方程;

(2)已知∆BMN是椭圆C的内接三角形,若原点O为∆BMN的重心,求原点O到直线MN距离的最小值.

二、试题解答

解法2若直线MN与x轴垂直,则线段MN的中点在x轴上,点B为长轴的顶点,由OB=2及重心的性质,易知此时原点O到直线MN的距离为1.

①

(3+4k2)x2+8knx+4n2-12=0.

②

三、追根溯源

对问题(2)作一般性研究,不难得到如下结论.

证明设M(x1,y1),N(x2,y2),则直线MN的方程为(y2-y1)x-(x2-x1)y-(x1y2-x2y1)=0,点O到直线MN距离

由O为∆BMN的重心,可得B(-x1-x2,-y1-y2).又

③

④

⑤

由③+④-⑤,(③+④)×2-⑤,得

⑥

⑦

结论2条件同结论1,则

因此,模考题的 “源”是一类“动弦、定面积”的椭圆内接三角形问题.

四、结论拓展

(限于篇幅,推论1-3的证明留给读者)

波利亚曾说:“一个专心认真备课的教师

能够拿出一个有变化但又不太复杂的题目,去帮助学生挖掘问题的各个方面, 使得通过这道题就好像通过一道门户,把学生引入一个完整的理论领域.”在数学教学中,只要我们的教学能无疑生疑,有疑释疑,不存一疑,学生的探究能力与思维能力定会逐渐得到提升,学生就能在学习、探究的过程中体验到学习数学的快乐!