一道多元最值问题的解法探究——兼谈三角形面积坐标公式的优化

张玲丽 范方玉

(江苏省扬州大学数学科学学院,225002)

一、试题呈现

试题设实常数a,b不全为零，B(x1,y1),C(x2,y2),D(x3,y3)是平面曲线x2+y2=2ax-4by上任意三点，求u=x1y2-x2y1+x2y3-x3y2的最大值.

本题是一道多元函数最值问题,李尚志教授在重庆求精中学为中学生作学术演讲时,其中一道例题就是上述试题在a,b都等于1时的特殊情况.

显然,平面曲线通过原点O及点B，C，D.将u的表达式分拆成x1y2-x2y1,x2y3-x3y2两部分，发现分别与O，B，C和O，C，D的坐标有关，已知三点坐标可以求出∆OBC,∆OCD的面积.而北师大版的教材《数学(必修5)》第48页的一道习题,可视为三角形面积的坐标公式:

由此结论,我们将目标函数u的表达式看成x1y2-x2y1与x2y3-x3y2的组合，则u的几何意义与∆OBC,∆OCD的面积有关.如何准确解释u与∆OBC,∆OCD的面积的关系,我们需要设法去掉上述结论中的绝对值符号.

二、面积公式的优化

鉴于上述结论可用向量的运算来解决,联想到从原点出发的向量与复数可以形成一一对应关系,我们考虑利用复数对面积公式进行优化、改进.

(1) 当顶点O,B,C按顺时针排列时，

(2) 当顶点O,B,C按逆时针排列时,

评注上述证明过程参考文[2],运用三角形面积公式及复数的代数表示法、三角表示法获得了三角形面积的坐标表示法,优化了北师大版教材的结论.

三、问题解答

回到文首的试题,由推论可知目标函数有以下四种可能:(1)u=2S∆OBC+2S∆OCD;(2)u=2S∆OBC-2S∆OCD;(3)u=2S∆OCD-2S∆OBC;(4)u=-2(S∆OBC+S∆OCD).归纳而言，u=2(λS∆OBC+μS∆OCD),其中λ=±1,μ=±1,λ，μ的值由三角形顶点按顺时针、逆时针排列的顺序决定.由|λS∆OBC+μS∆OCD|≤|λS∆OBC|+|μS∆OCD|=S∆OBC+S∆OCD,可得|u|≤2S四边形OBCD，其中O，B，C，D四点按逆时针方向排列.

综上，umax=2(S四边形OBCD)max=4(a2+4b2).