从课本例题谈二项分布的估算

黄小燕

(江苏省兴化中学，225700)

一、提出问题

苏教版《数学(选修2-3)》第65页有表述如下的例题.

问题1设某保险公司吸收10 000人参加人身意外保险,该公司规定:每人每年付给公司120元,若意外死亡,公司将赔偿10 000元.如果已知每人每年意外死亡的概率为0.006,那么公司会赔本吗?

疑问1根据二项式定理，可知

即10001项之和是1，而现在求的仅仅是前121项之和,相对来说只有少部分和,能达到1吗?

疑问2能否找到计算二项分布的近似值的一般方法?

二、解决问题

1.解决疑问1

(1) 当0≤k≤45及74≤k≤120时,所对应的f(k)≈0.

(2) 当46≤k≤73时,所对应的f(k)如下表:

k46474849f(k)0.009850090.012592300.015760960.01932243k50515253 f(k)0.023212580.027336390.03157054 0.03576900k54555657f(k)0.039771320.043413090.046537420.04900647k5859 6061f(k)0.050711650.051581550.051586740.05074105k62636465 f(k)0.049099300.046751830.043816610.04042983k66676869f(k)0.036735900.032877970.028989540.02518801k70717273 f(k)0.021570170.015158190.012443740.01007633

由此可见,二项式定理展开式中的10 001项的和主要集中在中间的这28项和上.

2.解决疑问2

通过上面的数据特征分析,让我们联想到正态分布的图象特征.那能否用正态分布来逼近二项分布呢?我们在教材上找到了答案:数学家们发现,在多种微小因素影响下,如果没有一种影响占主导地位,那么这样的随机变量服从正态分布.特别是在独立地大数量重复实验时,就平均而言,任何一个随机变量的分布都将趋于正态分布,这就是中心极限定理.有了中心极限定理,我们可以理解为对随机变量ξ～B(n,p),只要当n足够大时,可以看成ξ～N(np,np(1-p)).

三、二项分布的估算在保险问题中的应用

1. 保险的利润问题

苏教版《数学(选修2-3)》第67页延续文首的例题,进一步提出如下计算题.

问题2条件同问题1,求该公司盈利额不少于400 000元的概率.

解接着前面的解题过程,有P(120-X≥40)=P(X≤80)=P(ξ≤2.597)=0.995 2所以,保险公司有99%的把握盈利400 000元.

2. 保费的确定问题

将问题1进行改编,可得如下变式题.

问题3设某保险公司吸收10 000人参加人身意外保险,该公司规定:若意外死亡,公司将赔偿10 000元.如果已知每人每年意外死亡的概率为0.006,若保险公司想以99%的把握保证公司不亏本,试求投保人每人每年需缴纳的最低保费额度是多少?

所以,每人每年需缴纳的最低保费额度为78元.

四、问题拓展与进一步思考

当二项分布中独立重复的次数比较大时,二项分布可以近似地看成正态分布,即二项分布可以用正态分布来逼近.此时,我们不禁要继续思考：超几何分布中的个体总数比较大时,能不能用正态分布来逼近呢?要回答这个问题,首先要弄清楚超几何分布和二项分布之间的关系.

1.超几何分布和二项分布的区别和联系

若有N件产品,其中M件是废品,无放回地任意抽取n件,则其中恰有的废品件数ξ服从超几何分布.现将概率模型改为:若有N件产品,其中M件是废品,有放回地任意抽取n件,则其中恰有的废品件数ξ服从二项分布.

在这里,两个分布的差别就在于“有放回”和“无放回”的区别.一般来说,同一事件对于放回和不放回的概率计算是不同的.尤其是产品数目N不大时,结果的不同之处更加明显.但是当产品数目N较大时,有放回抽样和不放回抽样所计算的概率相差不大.

2. 超几何分布和二项分布的统一

我们先比较两分布的数学期望及方差:

ξH(n,M,N)B(n,p) E(ξ)nMNnp V(ξ)nM(N-n)(N-M)N2(N-1)np(1-p)

3. 超几何分布的估计

产品数目N较大时,超几何分布就近似地看成二项分布.而二项分布可以用正态分布来