基于位相翻转噪声信道的量子态辅助克隆

陈遵一

摘 要 利用较少的量子比特纠缠资源，提出一个单粒子量子态1→2輔助克隆方案。发送者拥有一确定的单量子比特态，并制备一两比特量子纠缠态，设计先后两个过程，通过发送者的辅助测量和经典通信，实现单量子比特态在两个不同接收方的量子态克隆。过程中考虑到位相翻转噪声对复制过程的干扰，分别讨论了平均保真度和两比特纠缠态的纠缠度随噪声强度及发送方测量基变量参数的变化规律，分析表明根据噪声强度的大小变化，发送方通过适当的辅助测量并选择合适的纠缠信道可以帮助接收方有效提升量子态拷贝效率。

关键词 量子信息 量子态辅助克隆 噪声信道 保真度

中图分类号：TN 918文献标识码：A

0引言

量子信息是利用量子态编码的信息，1982年Wooters和Zurek证明了任意单量子比特叠加态不可能被精确复制，即量子不可克隆原理，它是保证量子密钥安全性和实现量子信息有效提取的前提，但该原理并不排斥非精确的量子态拷贝，随着量子信息理论和实验的快速发展，先后出现了确定性近似克隆和概率性完美克隆等量子态拷贝方案，实验成果也不断涌现。1999年Murao等将量子克隆思想与量子隐形传态理论相结合、提出远程量子克隆方案，随即不同类型的量子远程克隆方案也相继被提出。

设一人拥有重要的量子保密信息，但缺少足够的能力防止坏人偷取或抢夺这个信息，于是把这个信息分成多个部分，并传送给多个远处的接收者，接收者通过必要的恢复操作，分别获得信息的拷贝，这个过程就是量子远程克隆。远程克隆可以复制单比特量子态，也可以复制纠缠粒子对，但都需要借助多粒子纠缠信道来实现，纠缠是量子信息领域的核心资源，是量子计算和量子通信的物理基础。但在量子信息实施过程中，任何量子操作都不可避免地受到环境干扰，这样的干扰被称作量子噪声，噪声会减小多粒子纠缠信道的纠缠度，降低量子通信和量子克隆的效率，常见噪声信道包括：比特翻转信道、位相翻转信道、去极化信道和振幅阻尼信道等。

本文介绍在位相翻转噪声信道中实现单粒子量子态的辅助克隆，发送者通过选择合适的测量基及纠缠信道，可有效对抗噪声的干扰，提升单量子态克隆平均保真度。整个方案涉及到Alice、Bob和Charlie三方，其中Alice拥有确定的单比特初始态和两比特纠缠态，在图1中将量子比特依次记作1、2、3，其中量子比特2和3是初始的纠缠信道两粒子对，比特1是需要被拷贝的量子态，Bob和Charlie作为Alice的合作方、负责对比特1信息的远程拷贝、他们分别处在不同的位置。图1（a）为过程一，Bob获得比特3并复制出比特1的初始信息，图1（b）为过程二，Charlie获得Alice广义Bell基测量后的纠缠粒子对1与2中的量子比特2，并复制出比特1的初始信息。

1发送方Alice帮助Bob实现量子态拷贝

其中为Alice测量结果为时的几率。同时Alice将比特3发送至合作者Bob处且告之其具体的测量结果。根据Alice的测量结果，Bob对其收到的比特3执行合适的幺正恢复操作，则比特3的状态最终形式为：

结合方程（2）所示的纠缠态，对应的幺正操作具体包，其中为泡利操作算符，I为单位操作算符。由于Alice有4种不同的测量结果，每一种测量结果对应初始态的保真度为，则该过程的平均保真度为

如果，且传送比特3的过程没有噪声干扰，则Bob通过幺正操作获得初始态复制的平均保真度为1。遗憾的是，在实际实验过程中，比特3的发送将不可避免地受到噪声干扰，此时将演变为，其中为噪声的Kraus算符，对于噪声强度为的位相翻转噪声，其形式为。将方程（4）所示替换为，结合方程（5）-（6），可得合作者Bob在比特3受到相位翻转噪声干扰后，复制比特1初始态信息的平均保真度为显然，平均保真度的取值与噪声强度、量子信道参数及测量基均有关，若要获得最优化结果就要求。

为具体分析，假设，即量子信道为最大纠缠信道，图2给出了方案的平均保真度随测量基参数及噪声强度P的变化关系。图中黑色虚线表示经典情况下保真度的最大值2/3，当且仅当方案的平均保真度大于经典极限值时可认为复制方案是有效的。分析图2平均保真度的分布规律，可知方案中存在两个有效区域，即和，在此两个区域均为有效的区域。此外，平均保真度的最优结果为时、且，以及时、且。这些结果直观说明，可借助改变测量基提高不同噪声范围内复制方案的效率。

2发送方Alice帮助Charlie实现量子态远程复制

接下来进一步分析过程二，如图1（b）所示，Alice帮助另一个合作方Charlie实现初始态信息复制。当Alice对比特1，2完成测量后，比特1，2的状态将塌缩为方程（3）所示结果的其中之一，不失一般性，假设其测量结果为，以此说明方案的过程二具体步骤。首先，Alice执行单粒子投影测量，这里，选择由两个正交态组成的冯·诺伊曼测量，具体形式为：

当Alice对比特1执行方程（8）所示的单比特测量，如果其测量结果是，Alice将对比特2执行特殊的幺正操作，然后再将比特2发送至Charlie处并告知其测量结果;若Alice的测量结果是，Alice不做任何操作直接发送比特2给Charlie，同时通过经典信道发布其测量结果。收到Alice的发送的比特2并获知其测量结果后，Charlie对其粒子执行对应的幺正恢复操作，其中，幺正操作后Charlie在比特2上实现比特1初始态的复制。

利用方程（11）-（12），图三给出了方案的保真度（图3（a））和量子信道的纠缠度（图3（b））随噪声强度及信道参数的变化关系。比较图3（a）-（b）可知，保真度的最优值区域对应纠缠度的两个最大值区域，这说明信道的纠缠度将决定保真度的最优结果。此外，图3（b）在2，4象限存在2个最大值区域，但是此时没有对应保真度的最大值区域，原因是Alice及Charlie执行的幺正操作是以计算得出的，若以计算对应的幺正操作，则保真度最优值将出现在2，4象限，同样匹配其与纠缠度的变化规律。

为进一步阐述上述结论，我们取两种特殊的情况，即噪声最小和最大时，讨论保真度及纠缠度隨信道参数的演化关系，结果如图4所示。当噪声强度为0时，方案的有效区域（图4（a）黄色填充部分）内，保真度随纠缠度同步变化，当，即最大纠缠信道，方案的保真度为1。而当噪声强度为1时，方案的有效区域出现在，且当时，在最大噪声强度下，方案的保真度仍然可以达到1，如图4（b）所示。这些结果表明，在位相翻转噪声信道下，通过选择合适的测量基及纠缠信道，可有效提升复制效率。

3结论

量子克隆是量子信息科学的重要理论基础之一，在量子计算和量子信息中有着广泛的应用，本文讨论单粒子量子态在噪声信道下的远程克隆过程，依据位相翻转噪声强度的大小变化，借助于发送方选择合适的辅助测量和纠缠信道，可以帮助两个接收方顺利实现噪声环境下高保真度的量子态远程复制，过程步骤简洁，操作灵活，节约量子纠缠资源，抗噪能力强。

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