高阶振型对超高层建筑基底剪力的影响

李阳阳，陈成欣，闫康行

（宿州学院，安徽宿州234000）

0 引言

改革开放以来，得益于建筑材料的不断改进、设计理论的不断完善以及施工工艺的不断发展，近几十年以来我国已建成的超高层建筑有几千栋，尤其是各地地标性超高层建筑的迅速发展，例如1983年竣工的南京金陵饭店（110m）、1990年竣工的香港中银大厦（367.4m）、2010年竣工的香港环球贸易广场（484m）、2015年竣工的天津117大厦（596.5m）［1］。随着建筑高度的增加，结构变得越来越柔，自振周期变大而自振频率随之降低，在风荷载的作用下当出现结构二阶及以上高阶振型的自振频率位于其功率谱的主要频带宽度范围内时，高阶振型对结构基底剪力的影响便不可忽略［2-5］。

对于频谱比较稀疏的结构，我国《建筑结构荷载规范》（以下简称荷载规范）采用风振系数法确定结构的风荷载及其基底剪力，计算风振系数时仅考虑第一阶振型的贡献［6］。相应地，对于自振周期比较稀疏的结构，第一阶振型一般对结构的风振响应起控制作用，荷载规范的风振系数法比较简单实用，且准确度高。然而，对于近年来快速发展的地标性超高层建筑，由于结构前几阶振型的自振频率较低，仅考虑第一阶振型评估超高层建筑的基底剪力时，就可能会出现偏于危险的结果［7-9］。邹垚通过大量算例分析了高阶振型对矩形截面高层建筑横风向风振响应的贡献，指出二阶振型对加速度的影响不容忽视，在计算建筑结构的风振加速度时应该考虑二阶振型的贡献［10］。

在X和Y方向，本文以某一具有“靴子状”外形的超高层建筑为工程背景，基于随机振动理论分别采用平方和开平方根方法（square root of the sum of the squares，简称SRSS）和完全二次项组合方法（complete quadratic combination，简称CQC）计算结构基底剪力，并与只考虑第一阶振型的计算方法（Fundamental Mode Method，简称FM方法）得到的结果进行对比分析，研究高阶振型对超高层建筑结构基底剪力的影响，以此来校验荷载规范计算方法的准确性和可靠性。

1 计算推导

1.1 基本假设

受来流紊流、气动反馈和尾流脱落等因素的影响，风对结构的作用机理十分复杂。气流具有惯性和粘性的特点，当其流经建筑结构时会产生旋涡形成、尾流脱落等现象，形成复杂的流固耦合相互作用，从而引起结构振动。因此，准确定量地分析风对结构产生的作用基本是一种理想的情形。本文风荷载引起结构基底剪力的计算基于如下假设［11］：

（1）平均风速vˉ()z符合指数分布

式中，α为地面粗糙度指数分别为结构高度z处、建筑顶部高度H处的平均风速。

（2）准定常假设

结构表面t时刻位置Mi( )x,y,z的脉动风压w(Mi,t)为：

（3）单位高度的质量m0假定沿高度不变。

（4）迎风面和背风面产生的压力完全相关，变化同步。

1.2 计算公式

大气边界层中的风由远离建筑物自振周期的平均风和接近于建筑物的脉动风两部分组成，前者对结构产生的作用是静力性质的，后者对结构产生的作用是动力性质的。平均风的周期一般在10分钟以上，对结构产生的荷载称为平均风荷载；脉动风具有紊流特性，是由于风的不规则性引起的，对结构产生的脉动风荷载与结构自振频率、节点质量有一定的关系，需要运用随机振动的理论知识进行分析［12］。下面分别对平均风荷载、脉动风荷载和基底剪力的计算公式进行推导说明。

1.2.1 平均风荷载

结构z高度处的平均风荷载pˉ()z，计算公式如下：

式中，影响函数i(z,zi)为：

1.2.2 脉动风荷载

由振型分解反应谱法可知，结构第j振型的运动方程为：

式中，ξj(t)为第j振型的广义坐标分别为建筑物第j振型的质量、瑞雷阻尼、刚度和风荷载，φj()z为结构z高度处第j振型坐标。依据随机振动理论，结构z高度处的位移响应功率谱密度Sy(z,n)为

式中，nj结构振型的自振频率，SFjFk(n)为第j振型与第k振型的广义力互谱密度，H为结构迎风面宽度为结构M1、M2两点的准定常压力系数，均等于风荷载体型系数，Rxz(M1,M2,n)为脉动风速互相干函数的平方根，Sv(n)为脉动风速谱。Hj(-in)和Hk(in)为传递函数，表达式如下：

根据风致位移响应和广义力互谱密度之间的关系，响应y的方差σ2y为

式中，σyj(z)为结构第j振型的位移响应根方差，Sy(z,n)为位移的互谱密度函数，σyjk(z)为第j振型、第k振型交叉位移响应根方差。式（7）为准确计算结构脉动风荷载的CQC方法，当忽略第j振型、第k振型的交叉项时，表达式简化如下：

此时公式（8）演变为SRSS方法，式中σyjb(z)、σyrb(z)分别为背景响应、共振响应的根方差。

由位移响应根方差可得，第k振型对应j振型下的脉动风荷载为

式中，g为峰值因子，本文取2.5。

1.2.3 等效静力风荷载

结构各楼层的等效静力风荷载，计算公式如下：

式中，Wjk为振型参与系数，表达式为：

1.2.4 结构基底剪力

2 算例分析

以某一具有“靴子状”外形的超高层建筑为工程背景，结合刚性模型表面测压风洞试验，分别采用考虑高阶振型的SRSS方法、CQC方法，以及仅考虑第一阶振型的FM方法计算超高层建筑结构的基底剪力，并对比分析三种方法得到的计算结果，研究高阶振型对超高层建筑基底剪力的影响，以此来校验荷载规范计算方法的准确性和可靠性。风向角如图1所示。

图1 风向角及坐标示意图

2.1 结构动力特性

建筑结构阻尼比选取为0.04，模型比例与实际建筑的比例为1:300，结构的前9阶振型的自振频率及广义质量经计算分析，如表1所示。

表1 结构各振型的广义质量及自振频率

2.2 结构基底剪力

依据基本风压、结构阻尼比、自振频率、广义质量等数据，在结构X、Y方向分别采用SRSS方法、CQC方法计算得到了考虑前三阶振型的结构基底剪力VSRSS、VCQC，以及仅考虑第一阶振型FM方法计算得出的结构基底剪力VFM，VSRSS为SRSS方法计算得出的结构近似基底剪力，VCQC为CQC方法计算得出的结构准确基底剪力。FM方法、SRSS方法得出的结构基底剪力误差定义如下：

式中，V͂为FM方法、SRSS方法计算的结构近似基底剪力。基底剪力误差值ΔV的绝对值越大说明误差越大，ΔV小于0说明结果偏小，ΔV大于0则说明结果偏大。图2给出了0～350°在X和Y方向结构基底剪力沿风向角的误差变化情况。

图2 X和Y方向基底剪力误差沿风向角的变化图

对于FM方法、SRSS方法计算得到结构基底剪力，从图2中可以得出如下结论。

（1）在X方向，FM方法的最大误差发生在50°，为-0.52%，最小误差发生在90°，为-3.13%；SRSS方法的最大误差发生在0°，为0.27%，最小误差发生在90°，为-2.11%。在Y方向，FM方法的最大误差发生在330°，为-0.54%，最小误差发生在180°，为-2.79%；SRSS方法的最大误差发生在140°，为-0.04%，最小误差发生在180°，为-1.96%。

综上可得，在X和Y方向，FM方法计算得出的结构基底剪力误差均在5%以内，满足工程精度要求。高阶振型及振型之间的交叉项对于超高层建筑结构基底剪力的影响较小可以忽略不计，对于基底剪力起控制作用的是第一阶振型，计算结构基底剪力时，可采用荷载规范中仅考虑第一振型的风振系数法。

（2）FM、SRSS方法计算的结构基底剪力误差沿风向角的变化趋势基本一致。在X方向，FM方法最小误差均发生在90°；在Y方向，FM方法最小误差均发生在180°。

（3）FM方法和SRSS方法计算得到的结构近似基底剪力，相比顺风向，横风向的误差出现了较大的误差。在X方向，90°和270°附近（横风向）的结构基底剪力误差较大；在Y方向，0°和180°附近（横风向）的结构基底剪力误差较大。

3 结论

（1）高阶振型及振型之间的交叉项对于超高层建筑结构基底剪力的影响较小可以忽略不计，计算结构基底剪力时，可采用荷载规范中仅考虑第一振型的风振系数法。

（2）FM方法、SRSS方法计算的结构基底剪力，两者误差沿风向角的变化趋势基本一致。

（3）FM方法和SRSS方法计算得到的结构近似基底剪力，相比顺风向，横风向出现了较大的误差。