薛定谔方程的一种新教学思路

姚林红，李慧生

薛定谔方程的一种新教学思路

姚林红，李慧生

（中北大学 理学院，山西 太原 030051）

在理解微观粒子波粒二像性特征的基础上，对比实数轴和复平面的不同，猜出自由粒子波函数的数学形式．这种结合物理图像探索数学形式的教学方法，不仅有助于学生理解并接受薛定谔方程，而且能够给学生带来启发，有助于学生科研能力和创新能力的培养．

波粒二像性；薛定谔方程；波函数；科研能力；创新能力

薛定谔方程是量子力学中最重要、最基本的定理，也是大学物理量子部分的教学重点和难点．但是由于日常生活中很难接触到需要用量子力学来解决的实际问题，因此学生的生活经验多局限于经典物理的情况，对于量子力学尤其是薛定谔方程，学生理解并接受起来显得十分困难．甚至直到现在量子力学的一些问题仍然悬而未决[1]．如何才能将薛定谔方程这部分内容讲解得深入浅出，让学生更好地理解和接受薛定谔方程一直是物理教学工作者思考的问题[2-5]．

1 薛定谔方程教学的一般思路

在大部分的大学物理教材和量子力学教材中，薛定谔方程都是在对比平面简谐波[6]

形式的基础上，结合德波罗意关系式[7]

猜测微观自由粒子的波函数应该用

表示，在此基础上利用数学工具逐步猜测出薛定谔方程的形式．

但是从平面简谐波实数形式的波函数（1），到自由粒子的复数形式的波函数（3）这样的跨域显得非常突兀，导致学生对薛定谔方程理解和接受起来特别的困难．

2 从微观粒子波粒二象性特征出发猜出薛定谔方程的教学思路

图1 一维无限深势阱中电子的概率分布

图2 粒子离开原点的距离

图3 粒子经复平面从一个点到达另一个点

既然通过从实数轴扩展到复平面可以解决粒子运动断续的问题，那么受到这个问题的启发，微观粒子的波函数也相应在实函数式（4）的形式上加以修正为复函数式（3）．方程（3）与（4）虽然都具有波动性，但是方程（3）表示的是与复平面对应的点，而方程（4）则表示的是与实数轴上对应的点．当然，这种猜测未必正确，但是通过这样的类比和思考，复函数式（3）的猜出就显得比较自然，而直接假设与平面简谐波对应的微观粒子的波函数则显得非常的突兀，对初学者特别难以理解和接受．

在猜出与平面简谐波对应的微观粒子的波动方程是式（3）之后，接下来再按照一般的讲解思路，运用数学的方法逐渐猜测出描述微观粒子的薛定谔方程，这样学生理解和接受起薛定谔方程来就比较容易了．随后在探讨波函数的物理意义时，再引入波恩的概率波解释，强调有物理意义的是波函数的模方，函数的模方代表了粒子出现在空间的概率密度[8]341．这样复数式（3）形式到底表示什么就不再是困扰学生的问题了．

3 结语

薛定谔方程是大学物理量子部分的教学重点和难点，但是理解并接受薛定谔方程十分困难．在深刻理解微观粒子波粒二像性特征的基础上，对比实数轴和复平面的不同，并借鉴机械波和电磁波的数学形式猜出自由粒子波函数式（3）的形式，弥补了薛定谔方程这部分内容一般教学方法的不足．这种从探索物理图像再到猜出数学形式物理定律的教学方法，不仅有助于学生理解薛定谔方程，而且能够给学生带来启发，有助于学生科研能力和创新能力的培养．

[1] 郭光灿．量子十问之四“薛定谔猫”为什么会自然死亡？[J]．物理，2019，48（1）：37-38

[2 张立彬，涂成厚．中外量子力学教材经典知识点的区别与思考[J]．大学物理，2013，32（4）：38-40

[3] 李爱君，周战荣，朱海飞．大学物理课程中“波函数薛定谔方程”的教学探讨[J]．物理与工程，2018，28（4）：78-87

[4] 向梅，马晓东，路俊哲，等．关于量子力学中波函数复数表示的讨论[J]．大学物理，2017，36（11）：32-34

[5] 魏标，廖荣宝，金凤，等．浅议共轭薛定谔方程及其物理量算符[J]．阜阳师范学院学报：自然科学版，2019，36（1）：10-12

[6] 许丽萍，魏天杰．物理学原理简明教程（下册）[M]．北京：高等教育出版社，2013：214

[7] 周世勋．量子力学教程[M]．北京：高等教育出版社，2006：12

[8] 马文蔚，周雨青，解希顺．物理学（下册）[M]．5版．北京：高等教育出版社，2014：338，341

[9] 李金海，方恒忠，李子良．氢原子电子云密度分布分析[J]．大学物理，2004，23（3）：13-17

A new teaching method of Schrodinger equation

YAO Linhong，LI Huisheng

（School of Science，North University of China，Taiyuan 030051，China）

On the basis of understanding the characteristics of particle wave-particle duality，by comparing the difference between real number line and complex plane，and finally guesses the mathematical form of free particle wave function．This teaching method，which combines physical images to explore mathematical forms，not only helps students to understand and accept the Schrodinger equation，but also brings inspiration to students，which is conducive to the cultivation of students′ scientific research ability and innovation ability．

wave-particle duality；Schrodinger equation；wave function；scientific research ability；innovation ability

O302∶G642.0

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2020.09.018

1007-9831（2020）09-0071-04

2020-04-07

山西省自然基金面上项目（201801D121027）

姚林红（1982-），女，山西太原人，讲师，硕士，从事数学物理研究．E-mail：yaolinhong5@126.com