高等数学中三重积分计算“坐标系选择”的问题

摘  要：在高等数学三重积分的学习中会涉及到“坐标系选择”的问题，如何正确选择坐标系关系到能不能解答出题目以及计算量的繁简不同问题，需要深入分析研究。本文通过对高等数学中三重积分坐标系的不同选擇，强调既要遵循一般的选择规律也要灵活处理问题。

关键词：高等数学;三重积分;柱面坐标系，球面坐标系

高等数学三重积分的学习中会涉及到“坐标系选择”的问题，这是解决三重积分首先要明晰的问题，是高等数学教学中一个非常重要的内容，也是一个难点所在。首先要明确解题选择哪种坐标系，因为不同类型的图形以及方程结构采用不同的坐标系解决，会导致能不能够解出答案，以及计算的难易不同。通过下面这个例题两种不同方法的选择，让学生明确灵活处理问题的重要性，能帮助学生突破这个难点。

一、选择合适的坐标系是计算三重积分的关键

（1）若W立体在xoy面上的投影是x型或y型区域，说明积分限比较简单，可以用直角坐标计算。

（2）若W是圆柱形、圆锥形、球形或它们的组合，被积函数中的x、y以x2+y2或x/y的形式出现，用柱面坐标计算比较简单。

比如，球面与圆柱面，球面与旋转抛物面，但不绝对。

（3）若W是球形、球形的一部分、球面与锥面围成的部分，被积函数中的x、y、z以x2+y2+z2的形式出现，则适合用球面坐标计算。

比如，球面与圆锥面，但不绝对。

二、关于不绝对依据一般原理的说明，就是说有时候按照常规思维应该用柱面坐标来解决，但是我们用球面坐标也可以解决问题，下面举例说明这一点。

方法一：按照常规思维应该用柱面坐标完成。因为此题完全符合选择柱面坐标的依据。特别强调在柱面坐标系下穿越法定上下限要“垂直”穿越。

方法二：但是此题才用采用球面坐标也同样可以完成。特别强调在球面坐标系下穿越法定上下限要“从原点”穿越。

综上：选择坐标系既要遵循一般规律也要灵活应用;此外要注意在不同坐标系下穿越法定上下限的不同方式，否则会造成结论的错误。

参考文献

[1] 同济大学数学教研室主编.高等数学[M].北京：高等教育出版社，1992.

[2] 杨晋浩，张勇，罗钊.高等数学（上册）[M].北京：科学出版社，2010.

[3] 罗钊，韩天勇，王伟钧.高等数学（下册）[M].北京：科学出版社，2010.

作者简介：吴文前   成都大学信息科学与工程学院副教授，硕士。研究方向：数学教育。