超冷87Rb原子在二维光晶格中Mott绝缘态的实验实现*

文凯王良伟周方陈良超王鹏军孟增明† 张靖

1)(山西大学光电研究所,量子光学与光量子器件国家重点实验室,太原030006)

2)(山西大学极端光学协同创新中心,太原030006)

(2020年4 月8日收到;2020年6月6日收到修改稿)

1 引 言

强关联多体物理是研究诸多材料性质的关键内容,但是一直以来有两个问题难以攻克,一个是计算难度随系统的粒子数增多呈指数增长;另一个是非线性系统无法用微扰法处理[1].近年来,快速发展的光晶格因其具有完美的周期势场和高度的可调控性,使得研究强关联多体系统成为可能[2−8].2002年,德国Bloch小组首次在实验上观测到了玻色-爱因斯坦凝聚体(Bose-Einstein condensation,BEC)在光晶格中由超流(superfluid,SF)态相变到Mott绝缘(Mott insulator,MI)态,从此光晶格成为研究超冷原子强关联多体系统中新奇量子态的重要手段[9].而对于自旋大于1/2的原子,光晶格又可以提供一个高度可控的大自旋量子关联体系,在此基础上,许多新材料模型和新奇量子现象被发现[10−16].利用单一激光光束折叠反射产生二维光晶格,这个方案已用于产生二维光晶格的双阱阵列,实现分离和操控原子对阵列[17],并理论预测了该系统具有高轨道能带的拓扑半金属态[18].本文实验观测了87Rb超冷原子在两种不同的二维光晶格中SF态和MI态之间的量子相变.二维光晶格是采用单束激光折叠反射产生,通过控制激光偏振产生两种不同的二维光晶格结构, 一种是激光偏振方向平行于晶格光束所在平面, 另一种是激光偏振方向垂直于晶格光束所在平面. 该工作为今后开展光晶格中大自旋量子态和强关联物理等研究奠定基础.

2 理论模型

2.1 Bose-Hubbard模型建立

在1998年,Jaksch等[19]将Hubbard模型引入超冷原子领域,建立了Bose-Hubbard模型,提出了实现SF态到MI态转变的条件.其模型包含三个关键参数:隧穿强度J,相互作用强度U和格点上的化学势µi.二次量子化的多体哈密顿量在坐标表象下可写成:

第二项表示单个格点上原子间的相互作用

第三项为格点上的化学势

2.2 相变过程分析

Bose-Hubbard模型无法直接求解,所以考虑两个极限情况[20].

当J/U→∞,即晶格间跃迁占主导,而相应的晶格势趋近于零,即U→0,原子依然保持Thomas-Fermi分布,所有玻色原子在k=0的最低Bloch能带,系统的波函数表现由单原子的波函数等相位叠加的形式,体系的基态波函数:

其中,N表示原子数,NL为晶格点,原子可以在格点间自由隧穿,单个格点上的原子满足泊松分布,此时为超流态.当原子自由飞行时,由于相邻格点原子之间具有相同的相位,所以在动量空间可以看到干涉产生离散的动量分量.如图1所示处于超流态的原子在晶格中隧穿.

图1超冷原子在光晶格中的隧穿Fig.1.The tunneling of ultracold atoms in optical lattice.

当J/U→0,晶格间相互作用占主导,即U→∞格点间原子隧穿很弱,晶格势很强,系统的基态由局域化的原子波函数组成,则体系基态波函数为

此时这一状态为MI态,相邻格点间没有相干,所以在动量空间不会观察到干涉产生的离散动量分量.

前面描述两个极端情况下的Bose-Hubbard模型,考虑J/U从0 →∞ 即从SF态到MI态的相变过程,这主要由J/U和µi/U共同作用,如果MI态中单个格点中仅有一个原子,可以根据蒙特卡洛数值模拟出临界点为(U/J)n=1=16.4[21].

3 实验过程

图2为产生二维光晶格的实验光路图.光晶格激光经过平面反射镜M1、M2和平凹反射镜M3的反射后,沿原光路返回,其中消色差透镜F0、F1使激光会聚到原子的束腰直径为200µm.

图2实验装置二维光晶格由一束激光往返产生,其中方案1和方案2分别代表激光偏振平行和垂直于光束所在平面的两种情况Fig.2.Schematic diagram of the experimental setup to realize the two-dimensional optical lattices.The two-dimensional optical lattices are made of a single fold retroreflected laser beam.The linearly polarization of the incident laser beam aligned parallel(case 1)or normal(case 2)to the drawing plane can generate two different cases of two-dimensional optical lattice potentials.

图3两种光晶格(a)方案1的面内光晶格空间分布;(b)方案2的面外光晶格空间分布;(c)方案1的晶胞;(d)方案2的晶胞;(e)两种光晶格势在xz平面上的分布Fig.3.Two types of optical lattices:(a)Spatial distribution pattern of in-plane optical lattice for case 1;(b)spatial distribution pattern of out-plane optical lattice for case 2;(c)unit cell for case 1;(d)unit cell for case 2;(e)the potentials of two types of optical lattices(V = –Er).

在本实验中,通过改变激光偏振产生了两种不同结构的二维光晶格.根据入射激光偏振的不同,具体分为两种方案:方案1是激光的偏振平行于光束所在平面,由此产生的二维光晶格称为面内晶格, 沿x轴和y轴是两个独立的一维光晶格, 所以势阱为其中是光晶格激光的波长.面内二维光晶格势阱的空间分布及在xz平面上的投影如图3(a)所示,可以看到势阱沿x、y轴独立分布,空间周期为λ/2.方案2是入射激光偏振垂直于光束所在平面,产生的二维光晶格称为面外晶格,因为沿x、y方向激光偏振互相平行, 所以两个一维光晶格会产生干涉, 势阱为其中2 cos(krx)cos(kry) 为干涉项,由图3(b)可以看到势阱沿x轴、y轴呈45°分布,周期为当波长为红失谐时(V<0),光晶格产生的势阱就像地平面上挖的一个个“洞”.近期本研究组将这两种光晶格的相位信息写到物质波上,产生了亚波长的相位结构[22].图3(c)和3(d)分别表示的是面内晶格和面外晶格的一个晶胞.图3(e)表示的是在相同光强和波长下,两种光晶格势在xz平面的分布,蓝线代表方案1(两条蓝线对应图3(a)中势阱在xz面上最低和最高处的平面分布),红线代表方案2,可以看到在相同情况下,面外光晶格势阱更深,束缚原子的能力也越强,也更容易达到MI态.

图4实验时序图 红色表示的光晶格光强的变化,最后自由飞行12 ms吸收成像,其中(a)表示SF到MI的时序,(b)表示BEC到MI再到BEC的时序Fig.4.Schematic diagram of the experimental sequence:The red lines show the light intensity of optical lattice,and finally have an imaging of TOF 12 ms.The drawing(a)shows the sequence of SF to MI,drawing(b)shows the sequence of BEC to MI,and back to BEC.

具体实验过程如下:|F=2,mF=2⟩态的87Rb原子在四极磁阱和蓝失谐光塞势阱叠加形成的复合阱中进行射频蒸发预冷却[23−25],当原子温度达到5µK左右时,将原子装载到两束激光交叉形成的偶极阱中(波长为1064 nm,频率相差10 MHz,在原子云处的光斑直径是200µm),通过进一步蒸发冷却后,最终获得2×105个87Rb原子的玻色爱因斯坦凝聚体[26,27].然后打开光晶格激光,将光强由零线性增大,用时30 ms,再等待5 ms,使原子在光晶格中稳定下来.时序如图4(a)所示,红线表示光晶格光强.在打开光晶格过程中光偶极阱功率保持不变,用于维持z方向的束缚,最后突然关闭偶极阱和光晶格势阱,原子在自由空间中飞行12 ms后做吸收成像(time of flight,TOF),依据原子在动量空间中的分布,可以判定BEC是否相变到MI态;当获得MI态后,降低光晶格光强到零,用时30 ms,最后同时关断所有激光,自由飞行12 ms成像,即实现SF态到MI态再到BEC的量子相变,实验时序如图4(b)所示.

4 实验结果和分析

实验上首先研究了面内二维光晶格的量子相变过程.通过每次调节时序图4(a)中的光强来观察相变过程, 分别为0.92 mW(2.23Er)、3.7 mW(8.96Er)、10.67 mW(25.84Er)和13.26 mW(32.12Er),由此得到图5中的(a1)、(a2)、(a3)、(a4),可以看到在弱光晶格下,在原子动量空间中心的上下左右四个正方向2kr处出现干涉的动量分量,表明原子处在超流态,随着光强增大,格点间原子隧穿减弱,相互作用增强,格点间的干涉减弱,因此干涉的高动量分量对比度减弱.(a2)中在±45°方向上出现动量分量,这主要是由于偏振不纯导致有少许面外光晶格的贡献,实验中用偏振分光棱镜测得光束经过反射镜M2时,消光比已经由1/1000变化到1.8/1000;其次是两个方向上的光路无法保证完全垂直.当阱深加到32Er时,凝聚体彻底相变到MI态,此时每个格点内原子相互作用增强,由此导致格点间原子的相对相位随机,因此干涉消失,此时原子弥散分布在连续动量空间里.Spielman等[28]采用单束激光产生二维光晶格,实验观测到87Rb原子在面内晶格中由SF态彻底相变到MI态的阱深接近31(2)Er,结论与本文实验结果相一致.在图5(a)的基础上,分别将四次实验的光晶格势阱降到零,重新获得BEC,分别对应(b1)、(b2)、(b3)、(b4),发现光晶格势阱越深,返回得到的BEC中热原子数也越多,原子温度略有升高,主要是由光晶格抖动等不稳定性因素引起原子加热.

之后实验研究了87Rb原子在面外二维光晶格中的量子相变过程, 与方案1相同, 通过改变晶格光强来观察相变过程,具体的光强参数为0.89 mW(2.15Er),2.3 mW(5.57Er)、4.2 mW(10.17Er)、5.1 mW(12.35Er),由此得到图6中的(a1)、(a2)、(a3)、(a4),表示SF态相变到MI态的过程;随后分别减小光强到零,得到各自对应的BEC,如图6(b1)至图6(b4).

在图6(a)中,刚开始光强较弱的时候,格点间原子干涉占主导地位,首先在±45°方向上出现动量分量.逐渐增大光强,±45°方向上的动量分量也随着增强,但对比度逐渐减弱.当光晶格强度达到10.17Er时,系统就发生量子相变,进入MI态.对比方案1和2可知,后者出现量子相变的晶格深度更低,这与之前的理论分析一致,因为面外晶格两个方向的激光在原子处平行,由此产生干涉增强,而面内晶格的激光在原子处的偏振正交,因此是两个独立的一维光晶格构成的二维光晶格,势阱深度的具体情况见图3(e),面外光晶格的最低处能量是面内偏振光晶格最低处的两倍,同时面外二维光晶格的势垒高度是面内光晶格最低处势垒的四倍,因此面外偏振相比面内偏振二维光晶格在较低光强下就可以产生MI量子相变.

图5方案1的量子相变(a0)表示获得MI态的时序图,(a1)到(a4)为SF态相变到MI态的过程,(a1)中红色标注为光晶格格点,(a2)中白色标注的格点主要由于激光偏振不纯、x轴和y轴方向上的光路不完全正交所导致的,当势阱逐渐加深,隧穿开始加强,这些格点也越明显;(b0)为BEC相变到MI态,再相变回BEC的时序图,分别对应(b1)—(b4)Fig.5.Quantum phase transition for case 1:(a0)Reveals the sequence diagram of BEC to MI,from(a1)to(a4),show the imaging from SF to MI.In(a1),the red dashed circles show the lattice points,and in (a2),the white dashed circles show some incorrect lattice points,because the linearly polarization is impure and two beam paths along x axis and y axis are not totally orthogonal.Increasing potentials,these lattice points are more obvious;(b0)reveals the sequence diagram of MI to BEC,(b1)to(b4)show the imaging of MI to BEC after decreasing the potentials to zero.

5 结 论

本文采用单一激光光束的多次折叠反射方案实现了二维光晶格,进而通过控制面内和面外两种偏振状态产生了两种不同结构的二维光晶格.将87Rb原子BEC装载到两种光晶格中观察到从超流态和Mott绝缘态的量子相变,分析了两种光晶格结构对量子相变的影响.下一步将从理论和实验上精确定量分析两种光晶格量子相变点的光强大小和相对比例,希望进一步研究与量子相变有关的许多有趣的多体物理现象.