基于傅里叶拟合的多种季节划分法及相似度量

戴 婷

（湖南工程学院 计算科学与电子学院，湘潭411104）

0 引言

古时《黄帝内经》描述“五日谓之侯，三侯谓之气，六气谓之时，四时谓之岁”.天气最小的周期单位谓之“侯”，一年有72 侯，24 节气，4 季.以24 节气为基础划分四季是传统方法［1］.24 节气主要以一年之内太阳的辐射状态变化为基础制定，属于对地球这个系统的能量输入，每年大致是相同的.而地球本身随着时间时刻在变化，自身的运行规律无法与太阳辐射状态完全同频，因此考虑在24 节气的基础上改进四季划分的方法.

现代关于四季划分的研究已有很多成果，例如张宝堃［1］提出的侯平均气温法：候平均气温小于等于10 ℃为冬季，10～22 ℃之间为春季，大于等于22 ℃为夏季，22～10 ℃之间为秋季.孙树鹏等［2］和侯威等［3］提出了利用相似性度量的方法，用多要素构造了描述气候状态的变量.薛峰等［4］利用相似性度量函数构造了投影角，根据投影角的范围对四季进行划分.王正等［5］构造了三种典型场进行气候的季节划分，研究大气的变化情况.

本文基于地面气温单变量讨论四季的划分方法，从两个角度进行讨论.从24 节气划分法出发，时间点保持相对不变，采用小波去噪傅里叶拟合法建模，写出温度函数，构造温度波动投影角的计算，划分四季，确定四季的温度波动区间与分布，作为地球响应的标准形态.另一方面人们感受到的季节变化是多因素共同作用的结果，包括地理位置、地形地貌、当地生态环境等，仿照侯平均气温划分法，讨论四季特征，以傅里叶拟合的标准形态对比，构造季节偏离率等指标进行统计描述.

1 资料和季节划分方法

本文采用的资料是西安泾河站近十年（Ω：2005.01.01～2014.12.31）的逐日平均气温序列{q wt;t ∈Ω} 、最 低 气 温{L qwt;t ∈Ω} 、最 高 气 温{H qwt;t ∈Ω} 等指标进行研究.数据来源于“国家气象信息中心”（data.cma.cn）.

1.1 24节气划分法

公元前104 年，由邓平等制定的《太初历》，正式把24 节气定为历法，太阳从黄经零度起，沿黄经每运行15°所经历的时日称为“一个节气”.每年运行360°，共经历24 个节气.节气是根据太阳的位置来制定的，每年时间基本固定，不根据地球自身变化而变化.把地球看成一个系统，24 节气指明了系统的能量输入状态和时间，并不能实时反应地球本身的周期变化，具有超前性.

24 节气表达为圆周图像，圆周代表循环往复的周期运动，可用参数方程来表达：

θ 每走过15°则为一个节气，全年360 天，太阳一日运行1°，共计24 个节气.即θ 既代表方位，又代表时间，是典型的时空一体的表述模式.为了和地球的逐日气温进行对比分析，将θ 表述为时间，故太阳的运行按时间轴来描述，即为余弦函数，如图1中表达节气的各个位置.而四分四至代表了太阳辐射的周期变化中的典型状态，标明θ 的方位取值.

图1 24节气余弦表述图

1.2 傅里叶拟合投影法

对气温序列{q wt;t ∈Ω} 进行小波低通滤波去噪［6］，得到主频序列{Ft;t ∈Ω} 与短期扰动序列{It;t ∈Ω} .主频序列代表地球系统的内在运行规律，是太阳辐射的周期反应，而短期扰动序列则与地理位置、地形地貌、大气环流等因素相关.采用文献［6］的加法模型：

考虑太阳辐射属于周期运动，符合余弦波的运行规律，故对{ }Ft;t ∈Ω 进行傅氏拟合，如下形式：

k ≥1 表示存在一种以上的周期，在大循环中又有小周期，可以是多个周期并存的形态.k=1 得到波形的主频，结合拟合优度Adj.R2进行拟合，一般定为Adj.R2≥85%确认可行；k 的取值上限n 选取拟合优度上升速度显著变缓的节点.

主频中初相φ1的位置可以看成整个系统的响应延迟程度，将其换算成延迟时间YT：

将余弦波投影并变换至[-π,π]区间：

这个模型是对太阳辐射地球的能量的直接反应，看成系统的标准响应形态.它的运行规律与太阳辐射的规律一致，不同的纬度会造成不同的时间延迟；亦可将辐射能量转化为直接观察的温度对象［7］.

1.3 基于傅氏拟合的气温划分法

基于傅氏拟合的标准响应{ }Ft;t ∈Ω ，根据地面的物候特征采用气温分割法（分割点为10 ℃，22 ℃）重新进行四季划分.太阳辐射输入的是能量，气温是能量在系统中的直观响应.投影角划分法是从太阳辐射运行规律的角度进行考虑的，是从系统输入角度考量；侯平均气温法是从地球地面温度来考量，属于系统输出角度的考量.

按气温划分四季是从地球系统本身出发，既考虑系统输入（傅氏拟合标准响应），又考虑系统本身运行规律对输入信号的修正.

1.4 基于地面气温的四季划分法

地面气温包括日均气温{q wt;t ∈Ω} 序列，五日平滑气温序列{Jt;t ∈Ω} 等.按照侯平均气温法和投影角两种方法对地面气温进行季节的划分［8］.地面气温序列与傅里叶拟合序列相比包含了更多方面的信息，包括主频，包括短期的随机扰动，亦包括当地的物候和其他各反面的因素对气温的影响.不同的经纬度、地形等因素作用下响应不尽相同［9］.

2 季节相似性的度量

对标四季划分的标准模型，考虑其他划分方法与之的差异性度量：

同一地区的四季划分不同方法之间的偏离率若相差过大，说明该方法存在改进空间，或未能正确描述四季；也可对比四季之间的偏离率差异大小，描述四季的季节差异；亦可将气温逐年与标准形态进行分析，可以发现某些年份的偏离率显著不同，那么提示发生了极端气温事件.

3 四季标准态与实际差异的相似性

3.1 傅氏拟合投影法

余弦波振幅为13.39 ℃，全年气温的波动范围是［1.31 ℃，28.09 ℃］；周期T1=365.5 天，与目前的一回归年365.2422 日相比，误差0.2578 天；初相φ1=-0.15，表示系统对太阳辐射的响应时间延迟9.2 天.

3.2 傅氏拟合序列侯平均气温划分法与24节气的比较

依照侯平均气温对四季的划分方法，在傅氏拟合的图像中添加10 ℃和22 ℃的参考线对比.

图2 侯平均气温与傅里叶拟合温度对比

图2 为侯平均气温序列{Jt;t ∈T} 与傅氏拟合序列{Ft;t ∈T} 的对比（气温刻度为0.1 ℃），可以观察到拟合序列在夏冬季的高低温部分拟合效果略差，不能完全反应气温的剧烈波动，较侯平均气温更为平滑，能反映气温的长期主趋势.

表1 傅氏拟合法划分四季时间表

从时间上看，每年入春的时间在春分左右；入夏的时间基本在立夏与小满之间；入秋的时间在白露前一两天；入冬时间霜降之后立冬之前.值得注意的是西安的冬季最长，入冬时间对比立冬节气提前8 天，其他季节均为滞后，夏季滞后9 天左右，春天滞后三个节气，秋天滞后两个节气.从每个季节的时长来看，冬季最长，夏季次之，春秋季时间短且成对称形态.

3.3 五日平滑序列侯平均气温划分法与24 节气的比较

首先对{q wt;t ∈T} 进行五日平滑，得到逐日的侯平均气温序列{Jt;t ∈T} ，以2005 年的气温示例两者的趋势对比：

图3 日均气温与五日平滑气温序列对比

从图3 可以看到，气温序列的主趋势符合余弦函数的图像，五日平滑气温与日均气温序列保持一致，其余年份亦是如此.按照10 ℃和22 ℃的划分可 以得到以下结果，如表2 所示.

表2 侯平均气温法划分四季时间表

图4 侯平均气温法划分四季时长（天）与四立节气的时间差（天）

从时间上看，每年入春的时间在3 月份，波动程度在25 天之内；入夏的时间基本在5 月中下旬，其中2010 年较迟，在6 月11 日；入秋的时间在九月上中旬，波动程度在20 天之内；最为稳定的是入冬时间，基本在11 月中旬，除了2012 年入冬较早，在11月2 号.总的来看，春夏波动大，秋冬波动小.

从每个季节的时长来看，冬夏季节较长，冬季约为120 天左右，远超过一年的四分之一90 天，夏季基本维持100 天略多，秋季时间最短，从50 天到70 天不等，春季变动较大，最短53 天，最长90 天.根据平均时长来看四个季节在全年的占比，从春季至冬季分别为：18.7%、31%、17.7%、40%.这种四季时长的差异与地点所处的经纬度有关，太阳输入能量至地球系统，地表的响应各地不同.响应时长的规律亦与不同气候类型，不同的地貌特征等因素相关.

与四立相距的时间代表当地对系统输入的响应时间，入冬时间基本与立冬保持一致，平均相距4天，其次是入夏时间比立夏推迟18.3 天，最长的是入春的时间，相距立春平均推迟40.5 天，且波动较大.其他季节波动较春季平稳.但2010 年入夏与入秋的时间比往年更加推迟，当年春天的时间达到90天，夏天与秋天的时间均有不同幅度的缩短.

3.4 四种季节划分法的比较

从对四季的划分时间点、季节的时长、温度的波动范围看这两种方法相似度较高，但仍有各自的特点，存在差异.

图5 左上为基于傅氏拟合的气温序列{Ft;t ∈Ω} 按投影法划分四季，春秋形态一致，分布一致，冬夏形态类似，方向相反，夏季温度左偏，高温区四分位距小，而冬季右偏，低温区四分位距小.

图5 傅氏拟合温度、日均气温、侯平均气温的两种四季划分形态

图5 右上为基于实际日均气温序列{q wt;t ∈Ω}按投影法划分四季，可以看到，经过地球系统的变换，冬夏两季的有偏分布得到纠正，均表现为对称形态，与春秋相比较，分布区间较短，数据表现更集中，但是容易出现异常值，即极端事件.

图5 左下为基于傅氏拟合的气温序列{Ft;t ∈Ω}按气温法划分四季，四季的分布形态上更接近左上的情况，冬夏表现有偏不对称形态.即按照投影法划分或气温法划分四季没有太大差异.

图5 右下为基于五日平滑的气温序列{Jt;t ∈Ω}按气温法划分四季，分布形态与右上比较接近.

综上所述，影响四季划分差异的主要因素是气温序列采用的不同计算方法，{Ft;t ∈Ω} 序列主要反 映 的 是 太 阳 辐 射 的 周 期 变 化，{q wt;t ∈Ω} 与{Jt;t ∈Ω} 均是地球系统的完全响应序列，与拟合序列最大的差异在于系统自身的运行因素影响.那么根据公式（3），可以得知{It;t ∈Ω} 序列反映了地球系统自身的运行规律.

以基于傅氏拟合气温的投影法为基准，根据公式（7），（8）计算三种方法的季节温度均值偏离率与温差偏离率如表3 所示.

表3 三种四季划分法的偏离率表

温度的偏离主要发生在冬季，这与量纲有关，偏离率的计算采用的是相对值计算，冬季的气温低，温度数值小，因此相对误差被放大，绝对误差为1.74 ℃.与其他季节的绝对误差值持平.夏季和冬季的温差偏离较大，地球自身运行对太阳辐射的响应以这两季更为明显，则这两季更易发生极端气温事件.