一道中考试题的解法探究及启示

云南省昆明市第三中学(650500) 李加禄

波利亚说:“掌握数学就意味着善于解题. ”那么怎样才能善于解题呢? 笔者认为解题源于数学素养,尤其是数学核心素养,通过解题探究引导学生去探索数学问题的规律性和方法,深度挖掘有关知识点来拓展、延伸,进而提高学生的解题能力,实现高效的数学学习和教学效果. 本文以2019年云南省中考数学压轴题第(3)问为例,找准核心条件,突破解法障碍,让数学学习回归本质,提升数学的解题素养.

1 原题呈现

如图1,AB是⊙C的直径,M、D两点AB的延长线上,E是⊙C上的点,且DE2=DB·DA,延长AE至F,使得AE=EF,设BF=10,cos ∠BED=.

(1)求证:∆DEB∽∆DAE;

(2)求DA,DE的长;

(3)若点F在B、E、M三点确定的圆上,求MD的长.

试题说明第(1) 、(2) 小问解答过程省略, 且求得本文重点探究第(3)问的解法.

图1

图2

2 解法探究

2.1 立足本质,寻求解法

解法1锐角函数法(同角的三角函数值相等)

如图2, 连接FM, 由于BE⊥AF, 即∠BEF= 90°,又因为BF是B、E、F三点确定的圆的直径, 且点F在B、E、M三点确定的圆上, 即四点F、E、B、M在同一个圆上, 所以点M在以BF为直径的圆上, 故FM⊥AB. 由(1) ∆DEB∽∆DAE得∠BED= ∠A, 所以cos ∠BED=又因为BE垂直平分AF,所以AB=BF= 10,AE= 8,BE= 6, 在Rt∆AMF中, 由cos ∠FAM=得AM=AFcos ∠FAM=2AEcos ∠A=所以MD=DA −AM=.

2.2 模型铺路,畅通无阻

有“模”才有“样”,有“型”方能“行”. 对复杂几何问题的探究,借助知识经验和思想方法,在直观视觉与比较分析的基础上,构建出几何模型来解决问题是一种较好的策略. 有了模型带路,在解决问题时,就能化繁为简,化难为易,畅通无阻.

解法2利用勾股定理(方程思想)

将图2 分解出来如图3,在Rt∆BMF和Rt∆AMF中,由勾股定理得MF2=AF2−AM2=BF2−BM2. 设BM=x,则162−(10+x)2= 82−x2,解得所以.

2.3 另辟蹊径,豁然开朗

“相似一出,线段无忧”. 相似三角形是初中几何知识中求解线段长最常用到的工具,它的模型很多,也是中考必考内容,只要熟悉了常见模型,从复杂图形中分离出常见模型,那么解题就不愁了.

解法3构建相似三角形(母子型)

如图3, 因为∠BAE= ∠FAM, ∠BEA= ∠FMA=90°,所以∆BAE∽∆FAM,所以又由(2)可知,AB= 10,AF= 16,AE= 8, 所以所以MD=DA −AM=.

图3

图4

2.4 割补思想,面积等量

当几何图形中出现多个高(垂直或距离)时,可以考虑等面积法解决问题,即利用图形面积的不同表达方式建立方程.本题中有BE⊥AF,FM⊥AB,于是联系想到等面积法求解线段长.

解法4等面积法

如图3,设AM=x,则BM=x −10,因为S∆AF M=S∆AF B+S∆BMF,得即x·MF=16×6+(x −10)·MF,解得MF=9.6,又在Rt∆BMF中,易求BM=2.8,故.

2.5 中点出现,倍长中线

当题目条件中出现线段中点时,会自然联想到三角形中线,中位线以及倍长中线的辅助线作法,还有直角三角形斜边的中线等于斜边的一半. 于是便又找到了另一种简单解法.

解法5利用三角形中位线定理

如图4,过点E作EH//MF,又因为点E为AF的中点, 由三角形中位线定理得AM= 2AH, 又在Rt∆AEH中,AH=AEcos ∠A=所以故.

2.6 “圆”来如此,柳暗花明

对综合性、隐蔽性较强的平面几何问题,若能根据题目条件的本质特征,联想到圆的有关知识,恰当地构造辅助圆模型,往往可以化难为易,化繁为简,化隐为显,找到解题思路. 此题因为∠AMF= 90°,便考虑这个角为圆周角时,那么它所对的弦AF为直径, 于是尝试利用圆周角定理求解,构造了∆AMF的外接圆,过程简捷自然.

解法6构造辅助圆(隐圆模型)

如图5,因为∠AMF= 90°,所以构建以AF为直径的⊙E,过点E作EG⊥AM,由垂径定理得AM= 2AH,以下过程同解法5,不再赘述.

图5

图6

2.7 数形相生,完美结合

借助几何直观图形未能寻找到解题途径时,不防换个思路,利用几何图形的特殊性质建立平面直角坐标系,利用坐标法解答会更加方便自然,将几何问题转化为代数问题,利用数形结合求解.

解法7构建平面直角坐标系(坐标法)

如图6,以点B为坐标原点,AB所在直线为x轴建立直角坐标系,由(2)得AB= 10,BE= 6,BD所以A(−10,0),B(0,0),C(−5,0), 因为cos ∠BED=所以所以E(−3.6,−4.8).

由A、E两点坐标可求直线AE的解析式为所以在Rt∆BMF中,BF= 10, 由勾股定理得:解得:x2=−10(舍去) . 所以BM=xF=即MD=.

解法8构建方程组(交点法)

如图6, 由D,E两点坐标可得直线DE的斜率为:易 证BF⊥ED, 又因为kBF · kDE=−1, 所 以kBF=直线BF的解析式为:y=联立解得:所以所以即MD=DA −AB −故.

3 解题启示

3.1 注重总结基本几何图形,培养分解图形能力

从以上的几个解法可知,本题主要考查对基本几何图形的掌握和应用. 日常教学中,教师要不断给学生渗透转化思想,还要强调基本图形和几何直观的重要性,更要教会学生对较为复杂的几何图形进行基本图形的分解或分离,从中分析基本图形之间的数量关系和位置关系,然后运用基本图形的性质进行推理或计算,可以快速找到解题的突破口. 教学中也要善于总结基本图形,归纳解题模型,进而培养学生的识图能力、构图能力和分析推理能力.

3.2 注重强化一题多解,培养学生抽象力

“横看成岭侧成峰,远近高低各不同”. 我们要把启迪和培养学生抽象能力作为课堂教学的主要目标,一题多解是启迪和培养学生抽象能力的有效途径之一. 日常教学中,我们要尽可能为学生提供不同处理问题的思路,解决问题的方法,也就是要多开展一题多解教学. 这不仅能调动学生学习数学的兴趣,养成平时积极思考的习惯,而且还能促使他们主动寻找更多解决问题的方法和技巧.

3.3 注重提炼数学模型,提升解题素养

数学模型是数学的核心. 建立数学模型,研究数学模型是问题解决的中心环节. 在日常教学中强化数学建模意识,提炼数学模型,总结一些重要的基本模型,让学生学会把陌生的、复杂的问题转化为熟悉的、简单的问题,再熟练运用这些基本模型解决问题,化繁为简,化难为易,从而提高学生的解题能力及学习兴趣,培养学生的学科素养.

3.4 注重突出数学思想,积累解题经验

数学思想是数学的灵魂. 数学思想是学生把数学知识和方法都忘却之后保留在脑后中的思维方式. 初中阶段常见的数学思想有转化与化归、方程与函数、数形结合、分类讨论等,在本文中都有很好的体现. 义务教育《数学课程标准》指出,数学思想蕴藏在数学知识形成、发展和应用的过程中,是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括. 数学解题经验的积累是提高学生数学素养的重要标志,是提高数学教学的重要目标,是学生获得适应社会生活和进一步发展所必须的重要体现.

总之,从不同的角度挖掘题目条件,可以提升学生综合配置各知识信息的能力,产生多种解题思路,从而提高解题素养. 正如德国教育家第斯多惠说:“教学的艺术不在于传授本领,而在善于激励、唤醒和鼓舞.”我想,数学解题不应该是“给鱼”似的解题,而是要教会他们探究解题本源的“渔趣”.