从“立体几何”考点看高考中的“直观想象”学科核心素养*——以2018—2019两年高考文科数学全国卷为例

福建省厦门市厦门实验中学(361100) 杜晓欢

1 前言

《普通高中数学课程标准(2017年版)》提出了直观想象这一数学学科核心素养,“直观想象”是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化,利用图形理解和解决数学问题的过程,主要包括:借助空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律;利用图形描述、分析数学问题;建立形与数的联系;构建数学问题的直观模型,探索解决问题的思路.

画图是几何学习的关键,“立体几何”的研究对象是立体图形,它是平面图形的延伸和拓展,从平面到空间,从二维到三维,同时“立体几何”试题作为高中数学教学和学习的重难点,主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定,距离、面积和体积的计算,能很好地锻炼学生的空间想象能力,发展学生的“直观想象”学科核心素养,因此本文以2018—2019 两年高考文科数学全国卷“立体几何”相关试题为研究对象, 文科试题更强调几何直观及推理论证过程,观察这些试题如何体现“直观想象”核心素养,并进一步讨论教师如何在教学中利用“立体几何”内容进行“直观想象”核心素养的培养.

2 试题分析

2018年和2019年的全国卷均有三套试卷:i卷、Ⅱ卷和Ⅲ卷.

表1“立体几何”在2018—2019 两年高考文科全国卷的题号分布情况

这里主要分成选填题和解答题两部分进行分析,以(年,卷)的形式表示试题所属高考试卷,如(19,i)表示2019年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)数学(文科)i卷的题目. 从表1 可以看出,“立体几何”这一部分内容多以两道选填题(10 分)和一道解答题(12 分)的固定模式考查,而且根据题序了解到基本上是一道选填题和解答题较易,另一道选填题较难,处于压轴题的位置.

3 真题再现

本文以2019年全国i卷为例,就“直观想象”在“立体几何”试题中的解题应用进行探析,谈谈对“直观想象”学科核心素养的思考.

例1 (2019年· 文16) 已知∠ACB= 90°,P为平面ABC外一点,PC= 2,点P到∠ACB两边AC,BC的距离均为那么P到平面ABC的距离为____.

图1

分析:本题无图, 为了解决问题, 必须作图, 观察到题干是“点P为平面ABC外一点”, 所以笔者以三棱锥为载体, 如图1 所示, 设PE⊥AC,PF⊥BC,PG⊥平面ABC,则PG为P到平面ABC的距离, 结合题目条件可知由“相等的斜线段的射影相等”可知GE=GF,由勾股定理可知CE=CF= 1,由三垂线定理可知GE⊥AC,GF⊥BC,所以GC所在直线为∠ACB的角平分线,而∠ACB=90°,所以∆CEG和∆CFG是两个全等的等腰直角三角形,所以这样易知∆PGC也是等腰直角三角形,.

此题想出图形并作出图形是关键,体现了直观想象素养是分析和解决问题的重要手段,是形成思路、进行推理的思维基础.

例2(2019年· 文19) 如图2, 直四棱柱ABCD −A1B1C1D1的底面是菱形,AA1= 4,AB= 2, ∠BAD=60°,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.

(Ⅰ)证明:MN//平面C1DE;

(ii)求点C到平面C1DE的距离.

图2

图3

分析:第(Ⅰ)问要证明MN//平面C1DE,一般首选的思路是从线//线⇒线//面,即从平面C1DE内找到一条直线与直线MN平行,从图中可以看到DE//MN是比较直观的;而第(ii)问求点面距首选的做法是利用等体积法,即在三棱锥C −C1DE中,由VC−C1DE=VC1−CDE及DE⊥C1E易得所求. 此外, 第(ii) 问求点面距也可以直接作出该垂线段,结合已知条件容易发现DE⊥平面CC1E,因此平面C1DE⊥平面CC1E,这样根据平面与平面垂直的性质定理,在平面CC1E中过C作C1E的垂线交C1E于点F,那么CF就是所求的点面距,利用等面积法就可以得出答案. 如图3 所示.

此题用图是关键,学生利用已给的图形结合已知条件进行分析便能解决问题.

4 素养分析

直观想象素养水平的描述是通过情境与问题、知识与技能、思维与表达、交流与反思四个方面展开的,分为三个水平,其中水平二(高考)的要求是:能够在关联情境中,想象并构建相应的几何图形,并借助图形提出数学问题,发现图形与图形、图形与数量的关系,探索图形的运动规律;能够掌握研究图形与图形、图形与数量之间关系的基本方法,能够借助图形性质探索数学规律,解决实际问题或数学问题;能够通过直观想象提出数学问题,能够用图形探索解决问题的思路,能够形成数形结合的思想,体会几何直观的作用与意义;在交流的过程中,能够利用直观想象探讨数学问题.

由于从考试的角度,交流与反思的过程都侧重反思,因此表2 和表3 对“立体几何”部分的试题分析直接从情境与问题、知识与技能、思维与表达这三方面进行分析. 对于表2中有的试卷涉及到不止一个选填题,表中每一项利用“;”进行区分.

表2(2018—2019年)高考文科数学全国卷选填题考查状况分布

表3(2018—2019年)高考文科数学全国卷解答题考查状况分布

从表2 和表3 可以看出,每一份考题基本上都考查两种问题,一种是空间位置关系的判定问题,一种是求值问题. 并且从情境与问题来看,考题多以三棱锥、圆锥、四棱柱、圆柱等为载体;从知识与技能来看,基本上都是考查位置关系和求值问题;从思维与表达来看,需要熟练掌握公理、定理、定义及相互转化,解答题还应注意综合法的严谨书写,计算问题需要掌握求距离、表面积及体积的相关方法.

5 总结与讨论

根据以上试题分析,能够体会到作图用图对解题带来的便捷性,并且在分析问题的过程中,如果忽视平面几何知识的运用,解题往往会找不到思路,从而不得而终. 立体几何中,主要就是研究点、线、面的位置关系,聚焦平行与垂直,而对于位置关系的证明一般都转化为一个平面内的平行与垂直问题,因此表4 总结了“立体几何”证明问题中常用的平面几何知识.

表4“立体几何”问题中常用的平面几何知识

从上述的分析和讨论中,我们发现近两年“立体几何”知识对文科生的考查难度基本上达到了水平二,整体上来看试题虽然难度中等,主要考查证明和计算,但在实际中这一部分却是学生学习的弱点, 一方面学生空间想象能力比较弱,特别是文科生,另一方面学生不会作图,“直观想象”素养还有待加强. 这就迫切需要教师在今后的教学中,有意识地强调作图及平面几何知识的常用结论,突出几何直观,深化图形意识,帮助学生养成画图的好习惯,让学生在理解的基础上熟练掌握教材中的判定定理及性质定理,把自然语言、符号语言、图形语言三者结合,遵循“直观感知、操作确认、推理论证、得出结论”这种思考问题的一般模式. 在解决问题的过程中,注意渗透数形结合思想,增强学生技能的熟练度和思维的灵活性, 从而有效提升学生的“直观想象”学科核心素养.