把握模型本质与联系的数学建模教学
——以“实验6:滚动的圆”教学为例

2020-11-02 00:49潘建明
江苏教育 2020年67期
关键词:多边形圆心半径

潘建明

数学模型(Mathematical Model)是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际问题本质属性的抽象而又简洁的刻画,它或能解释某些客观现象,或能预测未来的发展规律,或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略。数学模型一般并非现实问题的直接翻版,它的建立常常既需要人们对现实问题进行深入细致的观察和分析,又需要人们灵活巧妙地利用各种数学知识。这种应用知识从实际问题中抽象、提炼出数学模型的过程就称为“数学建模”(Mathematical Modeling)。数学建模为学生提供了学习和探究的新载体,有助于学生体验数学在解决问题中的价值和作用,体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程,增强数学知识的应用意识;同时也有助于激发学生数学学习和探究的兴趣,发展学生的创新意识和实践能力。在初中数学教学过程中,要真正让学生对数学建模思想有所感悟,需要经历一个长期的过程,我们应该根据学生的年龄特征和不同年级的要求,循序渐进,逐步渗透,有效培养学生的建模意识和建模能力。在这一过程中,让学生从相对简单到相对复杂、相对具体到相对抽象,逐步积累经验,逐步形成运用模型思想去进行数学思维的习惯。本教学内容是学完苏科版九年级上册第二章“对称图形——圆”后,结合苏科版九年级《数学实验手册》(实验6:滚动的圆)对多边形周长和圆的弧长等相关知识的综合应用。这是笔者面向常州大市范围内开的一节公开课,请各位同行批评指正。

一、把握模型本质

1.情境导入。

问题:如图1,已知一个半径为2cm 的圆⊙O,在△ABC 的外部沿三角形的边滚动(无滑动)一周,其中AB=5cm,BC=6cm,AC=7cm,求:当⊙O 滚动结束时,⊙O 的圆心O 所运动的路径的长度。

师:我们已经学完了第二章“对称图形——圆”,今天我们来研究数学实验手册的“实验6:滚动的圆”,同学们先看老师给出的问题。

师:有答案的同学请举手。(没有学生举手)你们为什么不举手?

生1:这个问题很有趣,但圆在三角形边上滚动,它的规律我还未发现,所以没举手。

生2:我做出了一个答案,但不敢确定,所以没有举手。

生3:我看到它是中考模拟题,心理压力很大,思维有点“短路”。

师:看来这个问题对同学们的挑战还是比较大的,下面我们先来从简单的问题探究开始。

【教学意图】关注对“未举手”的提问,因为借班上课是为了进一步了解学情,了解学生的思维“断点”和学习心理;开门见山地将这个问题让学生先思考一下,让学生明白对此类问题探究的重要性和必要性;也为本节课的前后呼应设置一个悬念。

2.自觉体悟。

问题探究1:如图2,半径为r的圆沿着直线无滑动地滚动一圈,圆心所移动的路径是怎样的图形?圆心所经过的路径的长度是多少?

师:对问题探究1有结果的请举手。

生4:这个问题在小学时就已经探究过了。如图3,在探究中我发现,在运动过程中圆上的每个点都紧紧贴在直线上所走过的线段长,与滚动前后的圆心距刚好是矩形的一组对边,因此可以判断,圆心所运动的路径是一条线段,圆心所经过的路径的长度是这个圆的周长为2πr。

问题探究2:如图4,半径为r的圆的滚动路径为:两条总长度为m的直线段组成,其夹角为α,请试着画出圆心运动的路径图形,求其圆心运动的路径长度。

师:你们在这个问题的探究中,其认知难点在哪里?

生5:圆滚到点C后会怎么滚的问题。

师:好的,针对这个认知难点,请同学们拿出准备好的硬币先进行自主实验和思考,再在小组内相互交流。(学生操作、交流,教师巡学指导)

师:哪一个小组来展示你们的学习成果?

生6:我们研究发现圆滚到点C后圆心会绕点C旋转后再滚动,所以……

师(示意暂停,教师动画演示,如下页图5):对这个问题的理解,大家有没有问题?

生:没问题!

生6:所以圆心运动的路径是两条线段长加上一段圆弧长,两条线段长度之和为m。

师:那这段圆弧长是哪条弧的长度?

【教学意图】教学要让学生明白认知难点在哪里,这样的探究才会有的放矢;通过独立探究和小组交流,帮助中低学力的学生理解和掌握;这个环节揭示了算法模型的实质,一定要让全体学生彻底理解和掌握。

问题探究3:如图6,将一个半径为r的圆在一个周长为m 的n 边形上滚动(外部),请试着画出圆心运动的路径图形,求其圆心运动的路径长度。

师:现在我们来看问题探究3,这个问题与探究2有什么联系?

生7:问题探究2 只是问题探究3 的每个内角处发生的情境。

师:很好!下面给5 分钟时间,请每个同学先独立探究,再小组交流。

师:现在哪个小组来展示你们的合作成果?

则当半径为r的圆在一个周长为m的n边形上滚动(外部)时,其圆心移动的路径长度m+2πr。

师:大家听明白了吗?还有哪个小组有不同的想法吗?

生9:我们小组和他们小组在解题思路上大体相同,但我们没有假设每一个外角的度数,我们是这样做的,由问题探究2 可知,∠ABC+∠DBE=180°,可得:∠DBE=180°-∠ABC,所有的内角处都存在这样的情况,所以所有弧的圆心角之和为n·180°-(∠ABC+∠BCD+…+∠HAB)=n·180°-(n-2)·180°=360°。

【教学意图】为了突破学生的认知难点,教师指出了问题探究2和问题探究3的联系,便于学生进行认知迁移;学生中有不同的思路,应让他们进行展示,促进学生建立关系性理解。

3.模型提炼。

(1)算法模型:如图6,将一个半径为r 的圆在一个周长为m 的n 边形上(外侧)滚动,则其圆心运动的路径长度m+2πr。

(2)模型验证:当半径为r 的动圆沿着四边形的外围无滑动地滚动时,请验证动圆的圆心沿四边形运动的路径之和为:L=C四边形+C圆周。

语言表述:一个圆在一个多边形上(外侧)滚动(无滑动),则其圆心移动的路径长度是多边形与这个圆的周长之和。

二、建立模型联系

1.验模改模。

(1)完成导入情境中所提出的问题。

(2)如图7,在矩形ABCD 中,AB=6cm,BC=4cm,有一个半径为1cm 的圆在矩形内沿着边AB、BC、CD、DA滚动到开始的位置为止,则圆心所运动的路径长度是( )。

A.20cm B.(20+2π)cm

C.(20-2π)cm D.以上都不对

学生的完成情况都很好,过程略。

【教学意图】圆在矩形内滚动就不能用所提炼的算法模型,但能促进学生对所提炼的算法模型适用前提的理解,让学生学会辨模、改模和重新建模。

2.变式应用。

(1)取两枚同样大小的硬币,设半径均为r,固定其中一枚,将另一枚硬币绕其边缘滚动一周,那么它所滚动的路径是什么图形?其圆心运动的路径长度是多少呢?

(2)如图8,有两个大小不同的⊙A 和⊙O,⊙A 的半径为R,圆⊙O 半径均为r,固定⊙A,将小圆绕其边缘(外侧)滚动一周(无滑动),那么小圆的圆心所运动的路径是什么样的图形?其圆心运动的路径长度是多少呢?

(3)圆在多边形的边上(外侧)滚动与小圆在大圆的圆周(外侧)滚动有什么联系?试说出你的猜想。

师:刚才我们讨论了圆在多边形的边上(外侧)滚动,现在我们讨论圆在圆周上(外侧)滚动,大家先看问题(1),拿出硬币先操作再交流。

生10:这个问题不复杂,如图9,因为两个硬币是等圆,所以动圆的圆心所运动的路径是一个半径为2 r 的大圆,故圆心运动的路径长度是4πr。

师:问题(2)的解决思路,谁来说一下?

生11:从如图8中可以看出,动圆的圆心所运动的路径是一个定圆的圆心为圆心,半径为(R+r)的圆,故圆心运动的路径长度是2π(R+r)。

师:我们将2π(R+r)展开以后是什么结果?

生11:是2πR+2πr,是这两个圆的周长之和。

师:我们回头来看一下,我们所提炼的算法模型中的结论是什么?

生11:一个圆在一个多边形上(外侧)滚动(无滑动),则其圆心移动的路径长度是多边形与这个圆的周长之和。

师:有什么想法?

生11(豁然开朗):可以将这两个算法模型统一起来:一个圆在一个多边形上(或圆)的(外侧)滚动(无滑动),则其圆心运动的路径长度是多边形与这个圆(或两圆)的周长之和。

师:事实上,如图10,当动圆沿四边形四边外侧滚动时,其圆心运动的路径之和为:L=C四边形+C圆周,而有了这个发现之后,我们按同样的推理方式不难得出在五边形、六边形以至n边形中都有着惊人的相似,所以有当动圆沿n边形外围滚动一周时,其圆心运动的路径长为L=Cn边形+C圆周。

当多边形的边数逐渐增多时,多边形渐渐失去了棱角,当边数趋近于无穷大时,多边形就会变成一个圆,那么动圆的圆心运动的路径长度应该为:L=C定圆+C动圆。

生11:真奇妙,原来“直”和“曲”是可以统一的!

【教学意图】这里的学习活动基于对模型基础背景的变式,能够拓宽学生的视野。圆在另一个圆周上滚动是中考经常考的,也是需要研究的问题。通过建立起从“直”到“曲”的联系,不仅完善了学生的结构化认知,还促进了学生对模型之间的关系性理解。

数学建模思想的形成是一个复杂的系统工程,它是对数学知识、能力、策略等不断进行组织和再组织的过程。数学教学的目的是为了发展学生的思维能力,而思维能力的提升是不可以直接传授的,需要学生在学习的过程中不断地体验、领悟、感悟和顿悟。在本节课中笔者让学生经历模型分析、模型提炼、验模辨模、变式联系等核心过程,而不是一般的把学习时间还给学生,仅仅让学生形式上得到自主、表面化合作和进行没有价值的“伪探究”,以此引领他们走向数学学习的核心,使他们真正成为学习的主人,体现了数学教育价值的追求:带着知识走向学生不过是授人以鱼,带着学生走向知识才是授人以渔,这样的教学才会有生命力。

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