追根溯源 明晰错因

文 古作军

“轴对称图形”是初中数学的重要内容之一。一些同学在学习时，由于没有弄清知识概念的来龙去脉，对于知识概念理解不准，常会出现这样或那样的错误。下面就“轴对称图形”这一章的一些易错点进行剖析，希望能让同学们明晰错因，从而达到防止解题犯错的目的。

一、对轴对称图形的相关概念模糊不清

例1下列说法中：①两个全等三角形合在一起是一个轴对称图形；②等腰三角形的对称轴是底边上的中线；③等边三角形一边上的高就是这条边的垂直平分线；④一条线段可以看作是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形。正确的有（ ）。

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

【错解】C。

【错解剖析】轴对称图形的来源有二：一是一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分互相重合，这个图形是轴对称图形；二是把成轴对称的两个图形看成一个整体，这个图形是一个轴对称图形，而不是随意把两个图形合在一起。我们明确了这些，就可以断定①是错的。对称轴是一条直线，而等腰三角形底边上的中线是一条线段，二者属性不一致，所以它不能称之为对称轴，所以②是错的。垂直平分线的实质也是一条直线，等边三角形一边上的高是一条线段，所以③是错的。④的说法符合轴对称图形的定义，所以④是正确的。

【正解】A。

二、不能准确甄别轴对称图形

例2下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ）。

【错解】A或B或C。

【错解剖析】轴对称图形具有如下特点：轴对称图形是一个图形；把这个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合。只要明白这些，就会得出正确答案。

【正解】D。

三、对称轴寻找不全

例3如图1，由4个小正方形组成的田字格中，△ABC的顶点都是小正方形的顶点。在田字格上画与△ABC成轴对称的三角形，且顶点都是小正方形的顶点，则这样的三角形（不包含△ABC本身）共有（ ）。

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

【错解】B。

【错解剖析】直接利用已知图中已有的线段所在的直线为对称轴，只能找到两条对称轴，也就是说此时只能找到两个三角形。但是当我们把田字格的对角线连接起来时，对角线所在的直线也能成为对称轴，因此可得到第三个三角形。

【正解】如图2，得到的三角形有三个，所以选C。

四、错放变换后的位置

例4如图3，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则所得图形大致是（ ）。

【错解】A。

【错解剖析】不能按照规定要求去操作，导致把剪下的位置弄错，从而出现错误的展开图。

【正解】C。

五、等腰三角形分类讨论不正确

例5一个等腰三角形的两边长分别是3cm和7cm，则它的周长是______。

【错解】13cm和17cm。

【错解剖析】已知等腰三角形的两边，求它的周长。在不知道哪边是腰、哪边是底的情况下，我们要分两种情况讨论，在每一种情况中还要注意验证能否构成三角形。

【正解】17cm。

例6已知一个等腰三角形的两角分别是（2x-2）°、（3x-5）°，求这个等腰三角形各角的度数。

【错解】此题分两种情况：若（2x-2）°为顶角，得x=24，三角形的三个内角分别是46°、67°、67°；若（3x-5）°为顶角，得x=27，三角形的三个内角分别是76°、52°、52°。

【错解剖析】利用等腰三角形的性质解题时，易犯考虑不全面的这一典型错误。从表面上看，这道题分两种情况来计算，但实际上还有一种情况没有考虑到，即这两个角都不是顶角。

【正解】此题应该分三种情况。除了上述两种情况外，若（2x-2）°和（3x-5）°都不是顶角，则3x-5=2x-2，得x=3，三角形的三个内角分别是172°、4°、4°。

例7等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为50°，则这个等腰三角形的顶角是______°。

【错解】40。

【错解剖析】等腰三角形的高可能在三角形的内部，也可能在三角形的外部。本题应分类讨论：等腰三角形的高在三角形的内部时（锐角三角形），顶角为40°；等腰三角形的高在三角形的外部时（钝角三角形），顶角为140°。

【正解】40或140。