函数应用中的误区警示

2020-11-04 04:48
中学生数理化·高一版 2020年10期
关键词:图略指数函数交点

张 楠

本文汇集函数模型及函数综合应用中的误区警示,希望引起同学们的高度重视。

误区1:求解函数零点的方法选择不当

例1判断函数f(x)=|2x|-3在区间[-1,1]内是否有零点。

错解:因为f(-1)=f(1)=-1,所以f(-1)·f(1)>0,则函数f(x)=|2x|-3在区间[-1,1]内没有零点。

剖析:上述解法套用了函数零点的存在性判定定理,忽视了其前提条件。

正解1:当x ∈[-1,1]时,f(x)=|2x|-3≤-1,函数y=f(x)在[-1,1]上的图像与x 轴没有交点,即函数f(x)=|2x|-3在区间[-1,1]内没有零点。

警示:判断函数的零点个数,需要判断在给定区间上两端点的函数值的正负,若两端点函数值符号相反,再结合图像的连续性进行判断;若两端点函数值符号相同,需探究函数在该区间上的单调性,再利用函数图像进行判断。一般地,当不能直接求出零点时,可根据零点存在性定理判断;当用零点存在性定理也无法判断时,可画出图像判断。

误区2:由函数零点求参数时忽视分类讨论

例2函数f(x)=ax-x-a(a>0,且a≠1)有两个零点,则实数a 的取值范围是____。函数y=x+a,则函数f(x)=ax-x-a(a>0,且a≠1)有两个零点,也就是函数y=ax(a>0,且a≠1)与函数y=x+a 的图像有两个交点。

画出两个函数的图像(图略)。由图像可知,当0<a<1时,两个函数的图像只有一个交点,不符合题意;当a>1 时,函数y=ax(a>1)的图像过点(0,1),而直线y=x+a所过的点一定在点(0,1)的上方,这时一定有两个交点。

故实数a 的取值范围是a>1,即a∈(1,+∞)。

警示:函数的零点问题,常常化归为两个函数图像的交点问题求解。解答这类问题,合理分类和数形结合法以及函数思想的应用是解题的关键。

误区3:函数的零点的大小比较中忽视图像的作用

错解:所求问题可化为函数y=ax(a>0,且a≠1)与函数y=x+a 的图像有两个交点问题求解。画出两个函数的图像(图略),由图像易得a>1。

剖析:当化为两个函数的图像有两个交点时,忽视了0<a<1的情况。

正解:设函数y=ax(a>0,且a≠1)和

错解:没有理解m,n 的意义,不能得到正数m,n 的大小关系。

或者,胡乱猜测m>n。

剖析:忽视特殊值法和图像法的作用。

正解1:(特殊值法)尝试m=3,n=2,这时适合方程2m+m=3n+n,则正数m>n。

正解2:(数形结合法)设2m+m=3n+n=k,则2m=k-m,3n=k-n,于是m,n 分别为函数y=2x,y=3x,y=k-x 的图 像交点的横坐标。作出这三个函数的大致图像(图略),注意指数函数图像的分布规律,易得m>n。

警示:特殊值法判断是最优化的解法。利用一条直线与两个指数函数图像的交点,借助指数函数图像分布规律求解,凸显函数与方程和数形结合思想的应用。

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