弹性半空间地基梁的水平动力等效刚度

王 雪, 周凤玺,2

(1. 兰州理工大学 土木工程学院, 甘肃 兰州 730050; 2. 兰州理工大学 西部土木工程防灾减灾教育部工程研究中心, 甘肃 兰州 730050)

随着地下空间的不断开发和利用，隧道、地铁等地下结构的抗震设计问题已经成为广泛关注的重要课题.总体来说，地下结构的抗震分析可分为横截面抗震分析和纵向整体抗震分析，其中，将隧道等细长形地下结构视为放置在弹性地基上的梁是目前进行整体纵向抗震分析的一种常用计算方法.隧道结构与周围地基介质的相互作用则通过等效为弹簧和阻尼来反映.因此，地基-结构的动力相互作用，即地基介质的复刚度，包括水平和竖向刚度是地下结构纵向抗震分析中的重点.

杨光[1]采用有限元局部透射边界方法在频域内求解了地基动力刚度系数.杨先建[2]由弹性半空间的波动理论,导出天然地基动力刚度系数理论公式.王四根[3]研究了地基表面在刚性动力荷载作用下的动力反应，提出一个求取地基动力刚度和黏滞系数的实用化方法，但未获得显式的位移和动力刚度解.王军[4]根据弹性半空间计算模式实用化方法得到地基刚度系数计算值.蔡袁强等[5]运用Biot动力方程，研究了在竖向简谐作用力下的饱和地基中埋置刚性圆柱基础的动力响应问题，得到了等效竖向动力刚度的表达式；发现随着基础埋深的增加，等效竖向动力刚度的实部和虚部值线性增加.胡秀青等[6]考虑基础侧面与地基的相互作用，研究了埋置于单层饱和地基中的有质量的刚性圆柱基础的竖向振动问题.余文正等[7]提出了地基刚度影响系数的概念，并运用三维弹性半空间内明德林解，推导出地基刚度影响系数的计算表达式.巴振宁等[8-9]采用间接边界元方法 研究了层状横观各向同性地基上明置条形基础以及埋置条形基础的动力刚度系数.Dieterman等[10-11]研究了弹性半空间的竖向等效刚度和移动荷载作用下弹性地基梁的临界速度，并在地基梁和半空间的界面处考虑垂直和剪切应力，研究了弹性半空间与有限宽度梁相互作用时的等效垂直刚度.Anam[12]使用分层介质的动态刚度矩阵来计算表面位移，进而获得分层介质表面刚性基础动态刚度的近似显式表达式.Senjuntichai等[13]运用间接边界积分方程法研究了均匀饱和半空间中埋置对称刚性基础在受到简谐荷载作用下竖向动力响应.Rajapakse等[14]研究了均匀半空间中任意形状刚性条形基础动力刚度系数，发现刚度系数实部和虚部的变化均与泊松比有显著联系.Han等[15]运用PIM和MVF结合的方法，并通过傅立叶逆变换求解了层状各向异性半空间中埋置刚性基础动力刚度系数.Guha等[16]针对轴向刚度开发了近似分析方法，通过数值分析，获得底部管道的水平和垂直弹性刚度的关系.Liang等[17]运用间接边界元求解了二维平面内层状饱和与多孔弹性介质中半圆形基础动力刚度系数.

可见目前对地基梁的竖向动力刚度有一些研究成果，而针对地下隧道结构纵向抗震设计的水平动力刚度研究甚少.本次研究在弹性梁和弹性半空间动力相互作用的基础上，通过理论推导得到水平动力等效刚度的解析表达，并进行数值分析，为实际地下工程抗震分析提供参考.

1 计算模型

考虑弹性梁与弹性半空间之间相互作用的简化模型如图1所示.梁的宽度为2a,x轴与梁中线重合，z轴指向半空间内部，半空间表面为z=0.梁的位移以所示方向为正.假设梁受到沿着x轴方向的动荷载，接触面上的应力沿梁宽度方向均匀分布.

弹性半空间的运动方程为

μ2u+(λ+μ)

(1)

式中：u是弹性半空间的位移矢量；λ、μ是弹性半空间的拉梅常数；ρ是弹性半空间的质量密度；t是时间.

忽略弹性梁的自重，弹性半空间表面的边界条件可以表示为

式中：σzz是弹性半空间的正应力；τzx是弹性半空间的剪切应力；F是弹性梁作用于半空间上的单位长度的纵向分布力；U0是弹性梁的水平位移；H(y)是单位阶跃函数.

弹性梁的纵向振动的运动方程为

(4)

式中：A是弹性梁的截面面积；ρb是弹性梁的质量密度；E是弹性梁的弹性模量.

半空间与梁在接触处的位移连续性条件为

U0(x,t)=U(x,0,0,t)

(5)

半无限大弹体的运动方程满足如下方程[18]

(6)

式中：U、V、W是x、y、z方向的位移.

势函数φ和ψ满足以下两式

(7)

根据弹性力学基本方程，弹性半空间的正应力和剪应力可以表示为

(8)

2 水平动力等效刚度的计算

Fourier变换存在着如下形式

(9)

将式(9)代入式(7)，得

(10)

将式(9)代入式(8)，并结合式(2)和式(3)，可以得到Fourier域内的边界条件如下:

(11)

(12)

(13)

(14)

式中:

(15)

式(11)的通解为

(16)

将式(16)代入式(11)中，可得

(17)

求解式(17)，可得

(18)

式中:

将式(9)代入式(6)，可以得到Fourier域内弹性半空间x方向上的位移为

(21)

将式(16)和式(18)代入式(21)，可得到在弹性半空间z=0处的边界上的位移表达式：

(22)

将式(22)代入式(14)，可得

(23)

式中:

(24)

式(23)为弹性梁在弹性半空间里自由振动的表达式，同时也存在如下形式:

hu(ω,k1)[D(ω,k1)+χ(ω,k1)]=0

(25)

式中:

(26)

式(25)中中括号内的表达式为弹性梁与弹性半空间体系的弥散关系.表达式中的第一项描述了弹性梁的弥散特征，第二项描述了半空间的响应.

Fourier域内Winkler弹性地基梁的方程有如下形式：

(27)

式中：χ0是文克勒常数.

比较式(25,27)可以看出χ(w,k1)为弹性半空间的水平动力等效刚度.因此，弹性半空间上宽度为2a的无限长的弹性梁的水平动力等效刚度由式(26)表示.

3 分析与讨论

为了求解水平动力等效刚度，引入如下无量纲参数：

式中：ξ是y和x方向的波数比；νph是x方向的相速；βl,t是x方向的相速与P波和S波的波速比；χ*是水平动力等效刚度与拉梅常数之比.

将无量纲参数代入式(26)得

(28)

式中：

为了分析弹性半空间与弹性梁的水平动力的相互作用，对水平动力等效刚度式(28)采用数值积分方法进行计算.当ak1的值分别为0.1、0.2、0.3时，图2和图3分别绘出了水平动力等效刚度的实部和虚部随参数βt的变化曲线.

由图2和图3可以看出，弹性地基梁的水平动力刚度和阻尼不为常数，而是与梁中传播的相速度有关.当相速小于Rayleigh波的速度时，水平动力等效刚度的实部等于0，虚部稍大于0，表明此时梁的纵向振动向弹性半空间传递能量极小.当相速达到Rayleigh波的速度时，实部和虚部均产生突变达到峰值，表明此时梁的纵向振动向弹性半空间传递的能量最大.当相速大于2倍的剪切波的速度时，实部趋近于0，虚部稍大于0，表明此时梁的纵向振动向弹性半空间传递的能量较小.水平动力等效刚度与弹性半空间地基梁的频率和波数密切相关.波数增大，水平动力等效刚度的实部和虚部均相应增大.

4 结论

本文用解析法和Fourier积分变换对弹性半空间地基梁的水平动力等效刚度进行了研究.将隧道简化为放置在弹性地基上无限长的弹性梁，考虑弹性梁和弹性半空间的动力相互作用，基于弹性动力学的基本方程，建立了问题的力学分析模型.利用Fourier积分变换，得到了弹性半空间地基梁的水平动力等效刚度的解析表达式，并通过数值算例，采用参数分析了弹性地基梁的水平动力等效刚度及其阻尼的变化情况.结果表明，弹性地基梁的水平动力等效刚度和阻尼不为常数，而是与梁中传播的相速度有关.当相速为Rayleigh波的速度时，水平动力等效刚度的实部和虚部均产生突变达到峰值，此时梁的纵向振动向弹性半空间传递的能量最大.水平动力等效刚度与弹性地基梁的频率和波数密切相关.随着波数增大，水平动力等效刚度的实部和虚部均也相应增大.