全站仪测距归算误差的分析及对策

王健

(华北理工大学 矿业工程学院，河北 唐山 063210)

0 引言

在精密工程测量工作中，利用全站仪进行精密距离测量是一项重要且基本的工作。该项工作对测距精度要求很高[1]，一般要求误差不能超过2～3 mm。虽然精密全站仪能够高精度地测量两点之间的斜距，但是在将斜距归算为水平距离、水平距离归算为椭球面弧长的过程中会产生变形误差[2]。在精密放样工作中，有时甚至忽略投影变形的存在，直接使用全站仪放样水平距离。这些因素都可能会影响测量成果的精度，严重时会导致测量成果不合格。所以，对各种情况下斜距归算的变形误差进行定量分析，并提出合理的处理方法是十分必要的。

1 斜距归算为水平距离以及椭球面弧长的变形分析

1.1 斜距归算为水平距离的变形

如图1、图2所示，A、B为地面上两点，弧AC为过A点的椭球面弧长，弧BD为过B点的椭球面弧长，α3为弧长所对应的圆心角。AE为弧AC的切线，α1为相应竖直角；BF为弧BD的切线，α2为相应竖直角。利用全站仪直接测得斜距SAB，其水平距离按下式得到：

DAE=SABcosα1

(1)

DBF=SABcosα2

(2)

当A、B两点间高差较小时，如图1所示，可得α2+α1=α3(此时，AB的竖直角为负数，BA的竖直角也为负数)。

当A、B两点间高差较大时，如图2所示，可得α2-α1=α3(此时，AB的竖直角为正数，BA的竖直角为负数)。

图1 小竖直角时斜距归算示意图 图2 大竖直角时斜距归算示意图

无论A、B两点间的高差如何变化，都不会出现AB、BA的竖直角同时为正数的情况。

于是，利用全站仪在A、B两点分别测水平距离，2个水平距离从理论上来说是不一致的，其差值为：

ω1=DAE-DBF

(3)

在实际工程测量工作中，常常在一个控制点上设站来测定或放样某一个水平距离。按照上面的分析，这一过程肯定是有误差的。误差的具体大小，将以具体数值来进行分析。

1.2 水平距离归算为椭球面弧长的变形

在建立精密工程控制网工作中，往往需要将观测的距离归算为参考椭球面上的弧长。由图1、图2可得弧长的计算公式为[3]：

LAC=ROA×α3

(4)

LBD=ROB×α3

(5)

其中，半径ROA的值可以选取地球的半径或过A点的椭球面法截弧半径，半径ROB通过余弦定理计算：

(6)

圆心角α3通过正弦定理计算获得：

(7)

图1中，角BAO=90-α1；图2中，角BAO=90+α1。

斜距SAB2个端点A、B上对应的弧长之差为：

ω2=LBD-LAC

(8)

在精密控制测量中，取A、B两端点的平均弧长值做最终结果：

(9)

利用全站仪可以很方便地测量斜距和竖直角，从而获取水平距离DAE、DBF，A、B两端点水平距离的平均值为：

(10)

水平距离平均值与弧长平均值的差为：

ω3=LZZ-DZZ

(11)

在精密的工程测量工作中，要求控制网的距离尺度与放样时的尺度高度一致。从以上分析可以看出，DAE、DBF、DZZ、LZZ的值理论上是不一致的，而且投影变形值随A、B两点间的斜距大小、竖直角的大小变化而变化。为了更直观地分析这种变形值的变化规律，现在利用具体数据进行定量分析。

2 距离归算误差的定量分析

2.1 小竖直角情况下距离归算误差数值分析

如图1所示。常见的工程测量控制网，边长都比较短，此时该边长所对应的圆心角非常小。依据α1+α2=α3，该种情况只能出现在A、B 2个端点的竖直角都非常小的条件下。对于图1，最不利的情况(即A、B两端竖直角相差最大的情况)为一端竖直角为0，另一端竖直角与3值相等。现在对斜距分别为500 m、1 000 m、1 500 m、2 000 m、2 500 m、3 000 m、3 500 m、4 000 m、4 500 m、5 000 m，计算其在A、B两端竖直角相差最大的情况下，水平距离、弧长、平均水平距离、平均弧长的值，计算结果见表1。

表1 小竖直角时各种距离归算误差的数值分析

由表1可知，测距边为小竖直角的情况下，边长归算误差随着边长和竖直角的增大而增大，但总体而言归算误差数值都很小，例如：斜距为5 000 m时，仅从一个端点测量的水平距离与平均弧长之差不会超过1.2 mm。所以在小竖直角的情况下，归算误差可忽略，完全可以利用一个端点测得的精密水平距离代替平均弧长。

2.2 大竖直角情况下距离归算误差数值分析

如图2所示。取斜距为200 ～1 000 m，步长间隔为200 m，竖直角为1 ～10。，步长间隔为1。，分别计算各水平距离、弧长、平均水平距离、平均弧长的值，计算结果见表2～表6。

表2 斜距200 m时各种竖直角下归算误差的数值分析

表3 斜距400 m时各种竖直角下归算误差的数值分析

表4 斜距600 m时各种竖直角下归算误差的数值分析

表5 斜距800 m时各种竖直角下归算误差的数值分析

表6 斜距1 000 m时各种竖直角下归算误差的数值分析

由表2～表6可见，在测距边的倾斜角较大时，归算误差比较大，误差值受斜距值和竖直角值2个因素的影响。为了更直观地体现误差值的变化，以斜距作为横轴(单位m)，以竖直角作为竖轴(单位。)，计算单端测量的水平距离的误差值(DAE减LZZ，单位mm)，绘制等值线图，如图3。

分析表2～表6和图3可得：当竖直角较大时，即使比较短的距离，单端测量的水平距离也有较大的归算误差，这是精密测距工作中必须引起注意的；斜距相同时，归算误差基本与竖直角的大小成正比；竖直角相同时，随着斜距的增加，归算误差迅速增加；利用2个端点测得的水平距离取平均值，与弧长平均值之差几乎为零。所以在精密测距工作中，取两端点测得的水平距离的平均值作为结果，是消除归算误差的简单有效的方法，避免了计算弧长的繁琐过程。

图3 斜距归算水平距离误差的等值线图

3 结论

(1)竖直角很小时，单端测量的水平距离与平均弧长相差非常小，归算误差可以忽略。

(2)竖直角较大时，即使比较短的距离，单端测量的水平距离也有较大的归算误差，这是精密测距不允许的，必须加入改正数。

(3)对2个端点测得的水平距离取平均值，与弧长平均值之差几乎为零，所以在精密测距工作中可以采用该措施来消除归算误差。