在变与不变中探求数学的本质

杨珍珍

【摘要】通过分析和探究2020年高考数学预测卷中第21题及其变式以引导学生运用类比、联想、转化、数形结合的数学方法探索、发现并尝试解决新的问题;启发学生独立思考，数学压轴题的变式过程可以让学生打破固有的思维，学会举一反三，有利于培养学生的独立探索和自主创新的意识。

【关键词】数形结合   举一反三   创新意识   核心素养

【中图分类号】G633.6【文献标识码】A【文章编号】1992-7711（2020）28-133-01

下面笔者将以一道函数题为例，对其解法及变式进行探究，希望对高三学子有所裨益。

1.试题浮现

1.1  题目

已知函数f（x）=m+x2ex-a.

（1）当m=0时，求f（x）的极值;

（2）若对?m∈[0，1]，总存在唯一实数x∈[-1，1]使得m+x2ex-a=0成立，求a的取值范围.

1.2  问题分析

本文采用了一题多变的研究方法，旨在培养学生多思多问的习惯，以增强学生对数学的探究和感悟能力，让学生在枯燥的数学的解题过程中体验其中“变与不变”的美，进一步提升学生的数学学科核心素养。

1.3  解法研究

数学的思想和方法是数学的灵魂，大部分复杂的数学问题都可以转化成几个基础性的问题.本题属于高考函数压轴题的常规题型，考法稳中有变，第一问考查函数单调性的求法，考法常规，思路清晰，方法固定，可以通过求导讨论函数的单调性及利用函数极值的定义进行求解; 其中第二问是常规的考查参数范围的问题，不过该题目跟往常的考法略有不同，它由通常考法中的单一求任意性或者存在性问题升级成同时求存在性和任意性的问题。

（1）解：当m=0时，f（x）=x2ex-a，则f'（x）=x2ex+2xex=x（x+2）ex故f（x）在（-2，0）上单调递减，在（-∞，-2），（0，+∞）上单调递增。f（x）极大值=f（-2）=m+4e-2-a;f（x）极小值=f（0）=m-a .

第（1）问属于函数与导数问题的常规题型，不过在计算过程中发现很多学生混淆了极值和极值点的概念，错把求极值写成求极值点，于是本题把求极值改成求极值点就可以成为一道变式题，同学们下去完成。

（2）对?m∈[0，1]，有f（x）=x2ex-a与g（x）=-m在x∈[-1，1]上有唯一的交点，f（x）在[-1，0）上单调递减，在（0，1]上单调递增。

又f（-1）=e-1-a; f（1）=e-a; 且g（x）=-m∈[-1，0].

故    f（-1）<-1 即   e-1-a<-1 ， 因此a∈（e-1+1，e]

f（1）≥0          e-a≥0

1.3.1 变式一

若对?m∈[0，1]总存在x∈[-1，1]使得m+x2ex-a=0成立，求实数a的取值范围。

解： 令f（x）=x2ex-a，g（x）=-m

对?m∈[0，1]有f（x）=x2ex-a在x∈[-1，1]上的值域包含g（x）=-m的值域。

故   f（x）min≤-1即   -a≤-1， 因此a∈[1，e]

f（x）max≥0          e-a≥0

把条件中的存在唯一性改编成存在性就成为变式一了，我们可以把方程转化为两函数存在交点的问题，然后仿照例题，可利用数形结合的方法进行求解.在做题的过程中让学生体会其中的差异，并鼓励学生做大胆的尝试，看可不可以对该例题题目再次进行改编呢？在老师的鼓励和引导下，同学给出了如下的变式。

1.3.2 变式二

若对?m∈[0，1]与?x∈[-1，1]都有m+x2ex-a=0成立，求实数a的取值范围。

解：  令f（x）=x2ex-a，g（x）=-m

故   f（x）min=-1  即  -a=-1， 因此a∈?

f（x）max=0          e-a=0

通過该变式，我们发现把变式一中的存在性改成任意性，解答就会发生一些变化，由值域的包含关系变成值域相等，再结合函数的单调性就可以给出解答，那同学们我们能不能想想可不可以变换别的条件，使得该题有新的变式，我们可以大胆尝试，看能不能把相等关系改编一下使之成为不等式呢？

学生努力思考，大胆探索，给出如下的变式：

1.3.3变式三

若对?m∈[0，1]与x∈[-1，1]任意都有f（x）<0成立，求实数a的取值范围。

解： 设h（x）=x2ex-a，g（x）=-m∈[-1，0]

则对任意x∈[-1，1]都有x2ex-a<-1成立，

故h（x）max=h（1）=e-a即e-a<-1， 因此a∈（e+1，+∞）

在变式三中，我们把条件中的方程改编成了不等式，该题仍是一个双变量的恒成立问题，通过转化成最值问题来求解a的范围，那我们思考一下，能不能再做一些大胆的尝试，可否把题目中的双任意变量进行一下改编呢？学生突破思维定势，大胆思考，尝试做出如下的变式：

1.3.4变式四

若?m∈[0，1]对总存在x∈[-1，1]使得f（x）<0成立，求实数a的取值范围.

解： 设h（x）=x2ex-a，g（x）=-m∈[-1，0]

则存在x∈[-1，1]使得x2ex-a<-1成立，

故h（x）min=h（-1）=e-1-a<-1， 因此a∈（e-1+1，+∞）

大家还可以继续变式把f（x）<0改成f（x）>0，这样就又有两道新的变式题目，解法与上述变式几乎一致，大家下去自己整理作答。

2.题目拓展及变式

2.1 题目（选自2020届高考质量预测卷）

已知函数f（x）=ln（x2+1），g（x）=（    ）x-m，若对任意x1∈[0，3]，存在x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2），求实数m的取值范围。

2.2 解答略。

2.2.1变式一

若对任意x1∈[0，3]及x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2），求实数m的取值范围。

2.2.2变式二

若存在x1∈[0，3]，对任意x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2），求实数m的取值范围。

2.2.3变式三

若存在x1∈[0，3]与x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2），求实数a的取值范围。

2.2.4变式四

若对任意x1∈[0，3]，存在x2∈[1，2]，使得f（x1）≤g（x2），求实数a的取值范围。

以上四种变式表面看各有不同，但究其本质都是一样的，都是把任意存在型问题转化为函数的最值再进行解的，都是利用了导数的工具。

3. 教学思考

本文我们用探索的眼光、发散的思维多方面地对高考中常见的函数压轴题型及其变式进行挖掘和研究，有助于提升学生对数学思想方法的认识，进一步促进学生的实践能力和创新意识，增强学生透过数学的表面看其本质的能力，引领学生突破定势思维，让学生体验数学压轴题中“变与不变”的美，从而提升学生的数学学科核心素养。

【参考文献】

[1]高和平.中学数学思想方法及其教学[J].教学与管理，2004（3）：67.