抽象矩阵的行列式算法

张海涛

(山西大同大学数学与统计学院，山西大同 037009)

行列式不仅在数学领域,且在包含经济学在内的很多其他学科都有广泛应用,行列式的计算又是学习高等数学的基础,在求解线性方程组、求解逆矩阵和求矩阵特征值中占有不可替代的地位。抽象矩阵的行列式是研究生考试中的重要内容,其概念性、综合性强。由于未知行列式的具体元素，此时不能按照通常计算行列式的方法，将其化为三角形或降阶来计算，基于行列式的性质和矩阵的相关理论[1-3],介绍抽象行列式的计算方法和技巧，这些方法对学生掌握抽象行列式的计算与方阵的相关知识有指导作用。

1 利用行列式的性质计算

这种方法主要是运用单行(列)可拆性来计算的。大多是把行列式用向量来表示,然后利用单行或者单列可拆性,把它拆开成多个行列式,然后逐个计算,这时一部分行列式可能会出现两行或者两列元素相同或者成比例,这样简化后便可求出题目中要求的行列式。

例1设3阶矩阵，

其中α,β,γ2,γ3均是3维行向量，且已知行列式|A|=18,|B|=2,求|A-B|。

解两矩阵相减，其对应的行分别相减，因而

又因为上面行列式的第一行为两向量之差，AB又可写成两个行列式之差，得到

例1 中|A|-|B|=18-2=16，而|A-B|=2，故|A-B|≠|A|-|B|，一般也有|A-B|≠|A|-|B|。

2 利用矩阵的性质及运算来计算行列式

这类题目，主要是利用两个矩阵相乘的行列式等于两个矩阵行列式的乘积，这里当然要求矩阵必须是方阵。解题思路是利用已知条件中的式子化和差为乘积的形式，进而两边再取行列式，便可得到行列式的值。

常用的计算矩阵行列式的公式如下：

例2设A是三阶方阵,|A|=,求|(3A)-1-2A*|。

解利用A*=|A|A-1=,归结计算A-1的行列式：

说明：|AB|=|A||B|常用来计算矩阵乘积的行列式，但也用来计算或证明和差矩阵的行列式，特别是用它计算含正交矩阵的和差行列式，将和差矩阵化成乘积矩阵，常将单位矩阵E恒等变形为AAT或AT A，然后提取公因式进行计算。常用到下列转置矩阵的行列式性质：

例3设A是n阶矩阵，满足AAT=E，且|A|＜0，求|A+E|。

解将所求行列式|A+E|中的E 用AAT代换，得到

故|A+E|=|A|E+A，移项可得(|A|-1)|A+E|=0，又因为AAT=E，故|AAT|=1，即|A|2=1，所以|A|=±1，而|A|＜0，所以|A|=-1，从而

(|A|-1)|A+E|=(-2)|A+E|=0，

即 |A+E|=0。

结合单位矩阵来求行列式，这类题目难度更大，对矩阵的相关性质和结论要求较高，想掌握这种方法，须勤加思考，反复练习。

3 利用矩阵方程计算行列式

解题思路：先根据题目中的条件和矩阵的运算规则,将方程进行恒等变形,使方程化为AX=B，XA=B，或AXB=C的形式。若A或B或A且B可逆，分别解得X=A-1B，X=BA-1,X=A-1CB-1，此时再取行列式计算即可。

例4已知ABA*=2BA*+E，其中A=，求|B|。

解在等式ABA*=2BA*+E两边同时右乘A，得到ABA*A=2BA*A+A，即

|A|AB-2|A|B=A，而|A|==3，

所以3AB-2B=A,即3(A-2E)B=A，两边取行列式可得，

|3(A-2E||B|=27|A-2E||B|=|A|=3，

|3(A-2E)B||=27|A-2E|||B|=|A|=3，由于

|A-2E|==1，所以|B|=。

4 利用矩阵的特征值计算行列式

利用此方法须掌握以下两个性质。

性质1设矩阵A的特征值为λ1,λ2,…,λn，则

|A|=λ1，λ2，…，λn，

利用此公式，必须先求出矩阵的所有特征值。

性质2设λ是A的特征值，α是A的属于λ的特征向量，f(λ)是λ的多项式，f(A)是A的矩阵多项式，则f(λ)是f(A)的特征值，而α是f(A)的属于f(λ)的特征向量。

例4已知3 阶矩阵A 的特征值为1，-1，2，求|A-5E|。

解令f(A)=A-5E，因A的所有特征值为λ=1，-1，2，故f(A)=A-5E的所有特征值为f(λ)=λ-5，即f(1)=-4，f(-1)=-6，f(2)=-3，由性质1可得

|A-5E|=|f(A)|=f(1)f(-1)f(2)=-72。

利用特征值来求行列式，这种方法需要掌握特征值的相关性质，也需多作练习加以巩固。

5 利用相似对角化求行列式

如果n阶矩阵A能与对角阵相似，又已知其n个特征值λ1,λ2,…,λn，为求|A+kE|，可先将A对角化，即存在可逆矩阵P，使A=PΛP-1，其中Λ=diag(λ1,λ2,…,λn)，

再将E=PP-1得到，

例5设A为n阶方阵，2，4，…，2n为其n个特征值，计算|A-3E|。

解因A有n个特征值，故可相似对角化，即存在可逆矩阵P，使得A=PΛP-1，其中Λ=diag(2,4,…,2n)，E=PP-1，则

计算行列式，要先看看是属于数值型的还是属于抽象型的。对于抽象行列式，需要具体分析题目中的条件和类型，再归类处理。这类题目，方法较多，难度较大,综合性较强。为了能熟练计算行列式的值,需要对行列式的性质和矩阵的相关理论熟悉掌握，再通过勤加练习，加以巩固。