增长条件在Hamilton 系统边值问题中的应用之综述

张晓飞，康淑瑰

(山西大同大学数学与统计学院，山西大同 037009)

1 研究现状

1.1 变分法

非线性现象在自然界中屡见不鲜，数学工作者们经过合理论证抽象出数学模型，将非线性现象转化为微分方程（组）解的适定性问题，即解的存在性、唯一性、稳定性问题。为深入研究这些非线性问题，数学家们创造性地提出了拓扑度方法、连续性方法、鞍点约化方法、变分法、临界点理论、指标理论等非线性方法，涉及非线性泛函分析、微分方程与动力系统、微分几何以及天体力学与流体力学等诸多数学与物理学分支。变分法是非线性分析的一个重要分支，诸多非线性问题都是变分问题，即可以归结为某个泛函在一定条件下的极值问题或临界点问题，如微分几何中的等周问题、测地线问题、调和映照与极小曲面问题、经济管理中的最优化问题、Dirichlet 边值问题以及Hamilton 系统边值问题等。

1.2 Hamilton 系统

天体力学、等离子物理、航天科学以及生物工程中的很多数学模型都是以一阶Hamilton 系统或其扰动的形式出现的，而Newton 力学系统、Lagrange 力学系统以及Hamilton 力学系统推导出的方程组则是二阶Hamilton 系统。由于其复杂性，Hamilton 系统的运动轨迹具有多样性，数学上表现为各种不同类型的边值问题，如周期解、闸轨道等，而闸轨道则是一种特殊形式的周期解。

最早从变分法入手研究Hamilton 动力系统的数学家是Poincare，他利用最小作用原理探索自由度为2 的保守系统的周期解问题。由于一阶Hamilton 系统对应的作用泛函在相应的函数空间上是上下无界的，古典变分法的实用性具有很大的局限性。Rabinowitz 于1978 年在开创性文献[Rab] 中打破这一壁垒，文章中指出利用有限维逼近原理，在有限维空间上找到一系列近似解，可以证明近似解的极限就是周期解。对于非平凡周期解，数学工作者们更关心该周期解的最小周期，因而Rabinowitz 在文献[1]中提出著名猜想：由临界点理论找到的τ周期解是否是最小周期解。Rabinowitz 进一步指出，可以从三个不同的角度研究Hamilton 系统周期解问题：边值解是合适度量下的测地线(微分几何);边值解是作用泛函的临界点;利用Fenchel 变换将凸Hamilton 系统边值问题转化为对偶变分问题（凸分析与最优化理论)。

所谓的一阶Hamilton 系统周期边值问题是指一组特殊的常微分方程，即

其中H∈C1(ℝ2n,ℝ)，J=。记

z=(p,q),p,q∈ℝn，展开（1）式得

若Hamilton 函数具有“动能+势能”的表达形式：

首先我们在系统(1) 式左右两边乘以ξ∈C∞(Sτ,ℝ2n)，随之在区间[0,τ]上积分，整理得

此即作用泛函

z∈(Sτ,ℝ2n)的Euler-Lagrange方程=0,z,ξ∈(Sτ,ℝ2n),其中Sτ=ℝ/τℤ。了解函数空间(Sτ,ℝ2n)以及作用泛函φ1，不难发现寻找系统(1)的周期解等价于寻找作用泛函φ1的临界点。同理，寻找二阶Hamilton 系统的周期解等价于寻找下面作用泛函的临界点：

1.3 研究进展

从纯粹数学角度研究Hamilton 系统边值问题主要是给Hamilton 函数赋以适当的增长假设条件，如超二次增长条件、次二次增长条件、以及本文论述的混合增长条件。对应不同的增长条件，我们要寻找合适的临界点理论，比如山路引理、同调环绕定理、局部环绕定理、喷泉定理等，来证明周期解的存在性结果。由于τ周期解也是kτ周期解(次调和解)，由相同的临界点理论找到的kτ周期解实际上是否就是τ周期解，这就是所谓的次调和解互异性问题。数学研究者们还经常给Hamilton 函数附加对称性假设，利用群作用原理推导出对称临界点理论，可以得到周期解的多重性结果。文献[1-4] 中发展了不同形式的超二次条件，由此得到周期解的存在性结果。文献[5-7] 利用不同的次二次增长条件得到存在性结果。由超二次增长条件和次二次增长条件可以引申出一些混合增长条件，应用见文献[8-10]。

为研究周期解的最小周期问题，对于次二次增长情形，数一般通过迭代方法，比较作用泛函的临界值，见文献[6，10];而对于超二次增长情形，则需要利用Maslov 型指标理论，通过比较周期解与迭代解的Maslov 型指标，利用指标迭代不等式估计最小周期，见文献[11]。Ekeland 关于凸Hamilton 系统建立了指标迭代理论，而龙以明院士和他的合作者则对于一般的Hamilton 系统建立了指标迭代不等式，并成功地将指标迭代理论应用于闭凸紧超曲面上闭特征个数的估计(几何互异的周期解)。关于二阶非凸Hamilton 系统的最小周期估计，龙以明院士建立了Morse 指标迭代理论，由此估计周期解的最小周期。

所谓的一阶Hamilton 系统的闸轨道边值问题如下：

寻找系统(3)的闸轨道等价于寻找下述作用泛函的临界点：

由于函数空间WN中的函数具有对称性，刘春根教授和他的合作者仿照Maslov 型指标迭代不等式的建立思路，发展了L-指标迭代不等式，可以给闸轨道最小周期一个更加良好的估计，见文献[11]。值得一提的是，文献[11]指出：在紧凸且对称的闭超曲面上存在n条几何互异的闸轨道，进而证明了Seifert 猜想。

2 混合增长条件

比较不同类型的增长条件，并介绍一些应用。首先我们介绍超二次增长条件。

2.1 超二次增长条件

Rabinowitz 于文献[Rab] 中引入经典的超二次条件：

(Sup1)存在常数μ1＞2 与R＞0 使得

可以证明存在常数c1,c2＞0，使得H(z)≥-c2,z∈ℝ2n,即该Hamilton 函数H的增长次数不低于μ1＞2。

Fei 于文献[3]中弱化了文献[1]中的超二次条件(Sup1)，推广了周期解存在性结果，即

(Sup2)存在c1,c2＞0 以及β＞1 使得

计算得知Hamilton 函数H(z)=|z|2ln(1+|z|β)η(β,η＞1) 满足(Sup2)而不满足(Sup1)。

文献[2]中就一阶Hamilton 系统提出了一类弱化的超二次条件：

(Sup3)存在常数a＞0 以及一元函数η1满足=+∞使得：

H''(z)≥-aI2n+η1(|z|)PX,

其中PX表示在J-不变平面上的投影，满足PXN=NPX。

容易验证：Hamilton 函数H只在平面PXℝ2n上是超二次增长的。最近我们将(Sup3)应用到二阶Hamilton 系统，即

(Sup4)存在常数b＞0 以及一元函数η2满足=+∞使得：

V″(q)≥-bIn+θ(|q|)PL，

其中PL表示在一维子空间L⊂ℝn上的投影。

容易验证势能函数V只在一维子空间L上是超二次增长的。

文献[4]就二阶Hamilton 系统，弱化了超二次条件(Sup2)：

(Sup5) 存在常数c,R＞0 使得

而势能函数

V(w)=(|w|2-1)ln(1+|w|2)+sin|w|2。

满足(Sup5)而不满足(Sup1)。值得一提的是该超二次条件目前只在二阶系统得到应用，是否能够应用于一阶系统需要进一步研究。

2.2 次二次增长条件

Rabinowitz 类比超二次条件(Sup1)，提出了次二次增长条件：

(Sub1)存在1＜μ2＜2 以及R＞0 使得

文献[5]提出了一般的次二次增长条件：

(Sub2)存在常数R＞0 以及单调递增次线性一元函数f使得

而Hamilton 函数H(z)=|z|ln(1+|z|) 满足(Sub2)不满足(Sub1)。

文献[7]中提出另一类次二次增长条件：

(Sub3)存在常数α∈[0,1) 以及c3,c4＞0 使得

文献[6]就一阶凸Hamilton 系统，提出一类条件，在原点处超二次增长，在无穷远处次二次增长，即

该文献利用对偶变分原理，将周期解问题转化为对偶变分求最值问题。

最近，文献[12]就二阶系统，提出新的次二次增长条件，弱化(Sub1)：

(Sub5)存在一元函数θ(定义见文献[12])以及常数R＞0 使得

而函数V(w)=满足(Sub5)不满足(Sub1)。

该次二次增长条件目前也只在二阶系统得到应用，是否能够应用于一阶系统需要进一步研究。

2.3 混合增长条件

简述一下混合增长条件的演化过程。

文献[8]受超二次条件(Sub1)启发，提出一类混合增长条件，既有超二次增长项，二次增长项，也有次二次增长项，即：

(A1)存在常数 0＜γ＜1,R,μi,νi＞0 满足=γ(i=1,2,…,n)使得当|z|≥R时，下式成立：

易知当αi=βi(i=1,2,…,n)，(A1) 就是超二次增长条件(Sup1)。

文献[9]由次二次增长条件引申出一类混合增长条件：

(A2)存在常数1＜μ,ν≤2 以及R＞0 满足μ-1+ν-1＞1 使得当|z|≥R时，下式成立：

易知当μ=ν时，(A2)即是(Sub1)。

文献[11]结合(A1)与(Sup2)提出一类混合增长条件：

(A3)存在β＞1,c1,c2,σi,τi,αi,βi＞0 满足αi+βi=1(i=1,2,…,n) 使得

其中z=(p1,…,pn,q1,…,qn)，

V(z)=(α1p1,…,αn pn,β1q1,…,βnqn)。

不难发现，存在Hamilton 函数满足(A3)，而不满足(A1)。在(A3)假设下，利用同调环绕定理和Maslov 指标迭代理论，可以得到周期解的最小周期估计结果以及次调和解的多重性结果。

文献[13]由条件(A2)与(A3)引申出一类混合增长条件：

(A4)存在β＞1,c1,c2,σi,τi,αi,βi＞0 满 足αi+βi=1 (i=1,2,…,n) 使得

其中V(z)定义同上。文献[13] 表明存在Hamilton 函数满足(A4)而不满足(A2)。

在次二次增长条件(A4) 假设下，利用同调环绕定理和Maslov 指标迭代理论，得到了周期解的最小周期估计结果以及次调和解的多重性结果。

文献[10]受文献[6]启发，引入又一类混合增长条件：

(A5)存在ai,bi＞0 满足=1(i=1,2,…,n)，使得

而当ai=bi(i=1,2,…,n)，(A5)即是(Sub4)。

文献[10] 利用对偶变分原理，将Hamilton 系统周期解问题转化为对偶变分问题，即：若H是凸函数，该函数的Fenchel 变换定义为：

H*(w)=sup{w∙z-H(z)|z∈ℝ2n},

则可以证明：

混合增长条件在一阶Hamilton 系统周期解问题中已有了一些应用，但是受限于增长不一样，应用范围远不如超二次增长条件那样广泛，我们将在今后沿着这一方向继续探索。据撰稿人所知，目前可能只有一篇文献[ZL]利用对偶变分原理研究一阶凸Hamilton 系统的闸轨道。而对于一般的非凸Hamilton 系统，混合增长条件能否成功应用，尚需要继续深入研究。