基于地磁传感器的旋转弹箭滚转角解算精度分析*

陈胜政，杨 波，张 意，王天明，杨 靖

(西安现代控制技术研究所， 西安 710065)

0 引言

地磁传感器具有成本低、抗过载能力强[1-3]、精度适中、算法容易实现等优点，已经成为低成本制导/修正弹箭最主要的滚转角测量手段[4-5]，并在国内外多型低成本制导弹箭上得到应用[6-7]。

滚转角信号在制导/修正旋转弹箭的控制系统中承担着制导信号坐标变换、控制指令分解等重要任务，其解算精度对制导旋转弹箭的最终命中精度影响较大。文中从地磁传感器解算滚转角的基本原理入手，分析并推导出决定滚转角解算精度的主要因素及误差方程。并进行了相关仿真分析，为地磁传感器在旋转弹箭上的使用提供一定的指导。

1 地磁传感器测姿原理简介

1.1 地磁传感器测姿基本原理

地磁传感器测姿，是利用旋转弹箭飞行区域内的地磁场矢量在旋转弹箭弹体坐标系下的投影分量与地面坐标系下的投影分量之间的坐标转换关系，来建立起关于3个欧拉角的联立方程组来进行的。通过对联立方程组进行变换，分离出滚转角变量，进而得到关于滚转角的解析表达式，从而在代入有关参量的条件下，实现滚转角的实时在线解算。

1.2 地磁场简介

地磁场同重力场一样，是一种全球性的基本物理场[8]。地球表面任意一点的地磁场为一个矢量，记为B，强度记为B。下面建立北天东坐标系OXYZ来对地磁场进行描述。OXYZ是以发射点O为原点，以地理北(北向N)、与地理北垂直并指向地心反方向(天向U)以及地理东(东向E)为3个正交轴建立的坐标系。

B在OXYZ坐标下有两个投影角度，分别为磁倾角I和磁偏角D。磁倾角I为B与北东坐标平面的夹角，指向地心为正，磁偏角D为B在北东坐标平面上的投影与北向的夹角，指北为正。

图1 地磁场矢量示意图

B与I、D一起，称为当地的磁场要素，构成对当地磁场矢量的完整描述。磁场要素可通过检索当地地磁场数据库或由世界地磁场模型(world magnetic model，WMM)计算得出，也可采用经过计量的三轴磁强计现场测量得到。数据表明，当制导弹药射程较近时，整个飞行弹道区域内的磁场变化非常微小[9]，工程可按B不变来处理，即将B、I、D取固定值。

2 滚转角解算模型

2.1 地磁矢量的坐标变换关系

分别建立地面坐标系OXgYgZg、准弹体坐标系Ox4y4z4、弹体坐标系Ox1y1z1共3个坐标系。弹体坐标系Ox1y1z1到地面坐标系OXgYgZg的变换关系采用(γ、ψ、ϑ)3个欧拉角来描述。3个欧拉角及坐标系的定义按文献[10]执行。

北天东坐标系OXYZ与地面坐标系OXgYgZg之间的转换关系用角度ψs描述。ψs定义为北向角，物理意义是旋转弹箭射击方向与北向的夹角，又名射向角。射向在北向以东为正，取值范围-180°～180°，发射前由靶场测定，为已知量。

根据坐标系定义，得坐标转换关系见图2。其中L(*) 表示坐标转换矩阵。

图2 坐标系转换关系

2.2 根据坐标变换关系，建立联立方程组

将B在北天东坐标系下的投影分别记为BX、BY、BZ，根据B、I、D的定义，得计算公式如式(1)：

(1)

B在发射坐标系的投影记为BXs、BYs、BZs。按图2，计算公式为：

(2)

式(2)即为发射系下的地磁三分量的计算公式。显然，由于右端所有变量均是发射前已知的，所以BXs、BYs、BZs为已知量。

另一方面，记Bx1、By1、Bz1分别为地磁矢量在弹体坐标系下的三投影分量，则有：

(3)

由于式(3)左边为已知量，右边的Bx1、By1、Bz1可由三轴传感器测出。那么式(3)即是关于3个欧拉角的联立方程组。

2.3 滚转角γ解算公式

根据式(3)建立的联立方程组，进行整理可得滚转角解算公式：

(4)

若令：

(5)

那么滚转角γ解算公式可改写为：

γ=γ1-γ2

(6)

式(6)便是最终的滚转角计算公式，当前滚转角γ等于γ1与γ2之差。式中：γ2仅与地磁场矢量在y1轴、z1轴的投影分量Bz1By1相关，在采用分别与Oy1轴、Oz1轴固联安装的两轴地磁传感器的情形下，辅以一定的滤波算法，可直接计算出γ2。

而γ1是I、D、ψs、ϑ以及ψ共5个变量的函数。I、D、ψs在发射前已知，可以通过装订口提前装订给弹箭。而ϑ、ψ两个变量则需要通过其他方法来解算或获取。

目前，一般有以下两种方法来获取ϑ和ψ：一是弹道预估法。通过选择合理的弹道形式和弹道方案，来保证全程ϑ、ψ规律与理论弹道的一致性，从而为预估创造条件。另一种方法是与卫星定位仪组合，利用卫星定位仪信号来实时估计ϑ、ψ信号。

但是，无论哪种方法，所得到的ϑ、ψ都存在一定的误差。该误差会最终叠加到γ1上，引起滚转角解算误差[11]。此外，其他3个参数也会带来一定的误差。

3 地磁传感器解算滚转角精度分析

3.1 γ1项误差分析及控制

在式(5)中，令：

(7)

那么，γ1计算公式可改写为如式(8)形式：

(8)

将γ1(ϑ+Δϑ,ψ+Δψ,D+ΔD,ψs+Δψs,I+ΔI) 在(ϑ,ψ,D,ψs,I)附近进行泰勒展开，以微分代替差分，并且忽略高阶小量，得：

(9)

将γ1的误差记为Δγ1，那么：

(10)

根据式(7)、式(8)计算，得：

(11)

(12)

由于D、ψs两个参数是由发射前测定并装订的，其误差ΔD、Δψs远小于Δψ，因此可以忽略，进而式(12)可进一步简化为：

(13)

即Δγ1主要由偏航角误差Δψ、俯仰角误差Δϑ和磁倾角误差ΔI引起。

一般来讲，旋转弹箭的偏航角ψ(t)、磁倾角D一般较小，可近似按零处理。照此情形，有：

(14)

因此，可将发散的条件概括为：①射击方向在正北向或正南向附近；②当前弹道俯仰角接近于负的磁倾角。当①与②两个条件同时成立时，解算出的滚转角误差将会是发散的。下面以在北半球为例进行分析。在北半球射击时，若沿正北、正南向附近射击，那么条件①是满足的。由于当地磁倾角I为正值，那么当旋转弹箭飞行至弹道降弧段时，条件②很容易构成，从而导致降弧段滚转角解算精度变差。而对于南半球的情形，当旋转弹箭在弹道升弧段飞行时，条件②容易构成。

综合起来看，对于旋转弹箭不同的飞行段，条件②都是可能构成的。而条件①仅与射向相关，那么通过选择射向，是可以规避条件①，从而避免滚转角发散的问题。

3.2 γ1项误差仿真分析

由3.1节的分析可见，当旋转弹箭沿正北向或正南向附近射击时，采用地磁传感器解算的滚转角存在发散的可能，导致地磁测姿方案不可用[11]。

但是，根据式(7)，当射向从正北、正南方向逐渐偏离后，A逐渐增加，A2+C2逐渐变大，单位角度(俯仰角、偏航角、磁倾角等)误差引起的滚转误差逐渐变小，滚转误差收敛，滚转角解算精度变高。

因此，需要在全弹道俯仰角范围内，针对不同的射向，仿真分析俯仰角误差、偏航角误差、磁倾角与滚转角误差的传递关系，通过将滚转角误差限制在控制系统可承受范围内，来确认地磁的可用区域，从而为地磁的使用或指标分解提供依据[12]。

仿真计算条件为：

磁倾：40.5°

磁偏： 0°

北向角ψs： 0°～-90°

俯仰角误差： 取固定值3°

偏航角误差：取固定值3°

磁倾角误差：取固定值0.3°

容许的最大滚转误差：10°

3°偏航角误差引起的滚转角误差仿真结果分别见图3～图5。滚转误差超过10°时，按10°绘制曲线，以下同。

图3 0°～-20°射向，3°偏航角误差引起的滚转角误差

图4 -25°～-45°射向，3°偏航角误差引起的滚转误差

图5 -50°～-90°射向，3°偏航角误差引起的滚转误差

3°俯仰角误差引起的滚转角误差仿真结果分别见图6～图8。

图6 0°～-20°射向，3°俯仰角误差引起的滚转误差

图7 -25°～-45°射向，3°俯仰角误差引起的滚转误差

图8 -50°～-90°射向，3°俯仰角误差引起的滚转误差

0.3°磁倾角误差引起的滚转角误差仿真结果分别见图9～图10。

图9 0°～-20°射向，0.3°磁倾角误差引起的滚转角误差

图10 -30°～-90°射向，0.3°磁倾角误差引起的滚转误差

由仿真结果可见：

1) 由图3～图5可见，随着射向角的增加(往负向增加)，3°偏航角误差带来的滚转角误差(绝对值)逐渐减小。其中，当射向角处于0°～-10°范围内，俯仰角在-53°～-29°范围内，滚转角误差(绝对值)超过10°，地磁测姿方案在此范围内不可用。

2)由图6～图8可见，3°俯仰角误差带来的滚转角误差(绝对值)整体趋势也是随射向角的增加而减小的。且，仅当射向角超过-20°时，3°俯仰角误差带来的滚转角误差才全部减小到10°以内。但由于射向角处于-15°～-20°区间，仅一小段弹道倾角范围(-50°～-35°)内的滚转角误差超过10°，若能够进一步提高俯仰角的估算精度，那么可将不可用的射向角范围缩减到0°～-15°。

3)由图5、图7、图8可见，当射向角超过-35°时，3°偏航角误差带来的滚转角误差均小于4°，而3°俯仰角误差带来的滚转角误差均不大于6°。说明在该射向范围，采用地磁传感器解算滚转角的方法对偏航角、俯仰角误差的容忍能力较强。且随着射向角逐渐逼近-90°(相当于沿地理西向射击)，3°俯仰角和3°偏航角带来的滚转误差达到最小，说明该射向最有利。

4)由图9、图10可见，0.3°磁倾角误差引起的滚转误差仅仅在俯仰角处于-40°，射向不大于-10°的局部区域内有大值出现。而如果射向大于-10°，0.3°磁倾角误差引起的滚转误差几乎可以忽略。

5)由此可见，为了保证旋转制导弹箭的命中精度，射表中应对射向角范围作出明确规定，作战时选择有利的射击方向，尽量避免向正北向附近射击，射向角至少应大于-15°。同样的分析，对于0°～90°的射向应有同样的规律。综合起来讲， -15°～15°的射向应算作不可用射向。

6)总的来讲，按北半球射击考虑，最佳射向角应选在35°～90°区间或-35°～-90°，通过为控制系统提供高精度的滚转角信号，从而保证命中精度。

3.3 γ2项误差Δγ2分析

根据γ2的计算公式，当弹轴矢量与地磁矢量接近平行时，Bz1、By1均为小量，导致γ2的计算精度变差。根据实际使用经验，通过对传感器进行标定并消除弹上电磁干扰后，仅仅当射向角小于10°时，γ2的精度会比较差。而射向角大于10°的情形，γ2的精度基本都能处在一个比较稳定的水平。

3.4 滚转角综合误差Δγ分析

滚转角综合误差 Δγ=Δγ1+Δγ2。

根据3.1、3.2节的分析，滚转角误差主要取决于Δγ1。当将射向选择在15°以外时，综合滚转角误差最大值不大于20°(单独俯仰角或偏航角引起的最大滚转误差各10°，磁倾角引起的误差可以忽略)，初步的控制系统仿真表明，在该滚转角误差条件下，制导旋转弹箭仍能保证命中，说明滚转角精度能够满足控制系统的要求。

而当射向角处于15°以内时，由于滚转角精度变差，误差达到20°以上，导致地磁测姿方案不可用。

由此可见，采用地磁传感器测量滚转角时，需要对射向进行限制，使得弹箭的作战使用受到一定的限制[13-14]。

4 结论

文中建立了滚转解算模型、误差传递模型，对一定的俯仰角误差、偏航角误差、磁倾角误差等误差因素引起的滚转角误差进行了仿真分析。仿真分析表明，在同等误差水平、不同北向角条件下，地磁解算精度与北向角即射向密切相关，当射向偏离北向15°以上时，滚转角解算精度可达到20°以内，且随着射向角增加，滚转角解算精度越来越高。这可为地磁传感器在弹箭滚转角解算中的使用提供一定的参考与指导。