初中数学思想方法教学探究

曾黄淑芳

(福建省漳州市漳州三中 363000)

在培养和提高人的思维能力方面，数学有着其他学科所不可替代的独特作用，而真正使学生终身受益的是数学思想方法，这也是我们要探究数学思想方法教学的价值所在.

一、初中常见的数学思想方法

1.整体代入的思想方法

有些问题用常规的思路，从局部求解不仅复杂而且还难于解决，要是换个角度从整体思考，反而会使问题化复杂为简单，化难为易.所以运用整体思想解题可以优化解题思路，简便解题过程，提高解题的效率.

例1(运用整体代入的思想)已知x2+3x-2=0，求2x3+6x2-4x的值.

分析由x2+3x-2=0得x2+3x=2，所以2x3+6x2-4x=2x(x2+3x-2)=2x(2-2)=0.

本题利用因式分解将式子变形后，再把整式x2+3x看成一个整体，将它的值代入变形后的式子中即可.

2.函数和方程思想方法

用变化的观点去描述和分析实际问题中的数量关系，建立函数模型，再进一步运用函数的概念和性质使问题得以解决，这就是函数思想.与这种思想方法相衔接的还有方程和不等式等知识.

例2(运用函数和方程思想)某商场销售一批茶树菇，经理按市场价格10元千克收购了2000千克茶树菇存放入冷库中.据调查近期茶树菇市场价格每天将上涨0.5元/千克，但平均每天有6千克的茶树菇会坏掉，且存放每天需要付340元费用，保存天数不能超过120天.

(1)若该商场要获得22500元的利润，要存放几天后出售？

(2)求获得的最大利润.

分析(1)设存放x天后出售，依题意得

方程(2000-6x)(10+0.5x)-2000×10-340x=22500，解得x1=150(舍去),x2=50.

(2)设存放x天后出售，出售可获得利润w元， 则

w=(2000-6x)(10+0.5x)-2000×10-340x=-3(x-100)2+30000.

所以，当x=100时，w最大值=30000元.

本题是二次函数在销售问题方面的应用，解决这类型问题的思路通常是先建立二次函数的数学模型，再利用二次函数的性质来求最大(或最小)利润.

3.分类讨论的思想

在研究数学问题时，当条件或结论不确定时，我们应该对研究对象按某个标准进行分类研究，得出每一类的结论，从而得到整个问题的结论.例如我们在中考的压轴题中常遇到的等腰三角形存在性问题，就要根据所给的条件按角或按边进行分类讨论；还有中考压轴题中常见的二次函数的纯函数问题就经常要以对称轴为基准来进行分类讨论.值得注意的是，分类必须服从如下规则：(1)在同一次分类时，标准必须同一；(2)分类必须不重复且不遗漏.

例3(运用分类讨论的思想)已知抛物线y=x2+(2m-1)x-2m(-y=ax2+bx+c

(1)若抛物线过点(0，-3)，试求抛物线的顶点坐标和对称轴；

(2)试证明：抛物线与直线l必有两个交点；

(3)若抛物线经过点(x0，-4)，且对于任意实数x，不等式x2+(2m-1)x-2m≥-4都成立； 当k-2≤x≤k时，函数的最小值为2k+1,求直线的解析式.

分析(1)抛物线：y=x2+2x-3=(x+1)2-4，顶点(-1，-4)，对称轴为：直线x=-1.

(2)抛物线：y=x2+(2m-1)x-2m,

直线：y=(k-1)x+2m-k+2.

x2+(2m-k)x-4m+k-2=0

Δ=(2m-k)2-4(-4m+k-2)= (2m-k)2+16m-4k+8

=(2m-k)2+4(2m-k)+8m+4

=(2m-k+2)2+8m+4.

∵m>-y=ax2+bx+c， (2m-k+2)2≥0,

∴Δ>0，抛物线与直线l必有两个交点.

(3)依题意可知y最小值=-4

即：y=ax2+bx+c=-4，m=y=ax2+bx+c或m=-y=ax2+bx+c

∵-y=ax2+bx+c

①当k≤-1时，抛物线在k-2≤x≤k上，y随x增大而减小.此时y最小值=k2+2k-3,∴k2+2k-3=2k+1,解得：k1=2>-1(舍去)，k2=-2.

②当k-2<-1

③当k-2≥-1，即k≥1时，抛物线在k-2≤x≤k上，y=ax2+bx+c随x的增大而增大，此时y最小值=(k-2)2+2(k-2)-3,(k-2)2+2(k-2)-3=2k+1，解得：k1=2+2y=ax2+bx+c，k2=2-2y=ax2+bx+c<1 (舍去).

综上所述，直线y=ax2+bx+c：y=-3x+7或y=(1+2y=ax2+bx+c)x+3+2y=ax2+bx+c.

本题的第三步就是以抛物线的对称轴为基准来进行分类讨论，“分类讨论”的问题在各地中考试题的压轴题中十分常见，因为这类试题不仅考查了学生的数学核心素养，更考查了学生思维的深刻性、发散性以及严密性等，对中等的学生来讲有一定的难度，因此具有选拔性.

4.数形结合的思想

数以形而直观，形以数而入微.在数学解题中，应该教会学生以数构形，以形思数，这样不仅可以使抽象的问题变得直观、易理解，同时也能使课堂更加的形象生动，从而进一步激发了学生的学习兴趣，对培养学生思维的形象性与广阔性有很大的帮助.

例4(运用数形结合的思想)如图为抛物线y=ax2+bx+c的图象，判断正确是____.

①a+b+c<0

②a-b+c<0

③2a+b>0

④b2-4ac>0

5.转化(化归)的思想方法

所谓(化归)转化的思想是指在研究数学问题时，将未解决的问题化归转化为已解决的问题，进而使问题得到解决的一种解题策略.化归与转化的原则是：将抽象的问题转化为直观的问题；将复杂的问题转化为简单的问题；以及一般性的问题和特殊的问题的互化.

例如，老师可以由特殊情况“全等三角形对应线段相等”这一性质进行合情推理到相似三角形的性质，这也体现了由特殊向一般转化的思想，这样学生在学习时会更容易接受.

二、如何在数学教学中渗透数学思想方法

数学思想方法教学主要采用渗透的方法，教者有意，学者无心，教学中应有的放矢地结合典型例题进行引导渗透，并结合类似练习加以强化和巩固.让学生对数学思想方法的感悟达到由浅入深，循序渐进，使学生逐步掌握并自觉地进行运用.

1.把握教材的思想体系，纳入教学目标

教师在平时的教学中一定要认真研究大纲，吃透教材，把掌握数学思想方法纳入我们的教学目标当中，精心设计到教案中去，在备课时要考虑如何结合教材内容进行渗透.例如在解直角三角形的教学中，我们常会添加的一条辅助线是作三角形的高，这样可以把一般的三角形转化为直角三角形，再利用勾股定理和三角函数知识来求解，这当中渗透了由一般到特殊转化的思想方法，这往往是解题的一个突破口.

2.反复再现，逐渐强化

首先是从模仿开始，学生通过模仿例题以及相同类型习题的解答，实际上就是让学生机械地运用数学思想方法.迁移不可能经历一两次就能实现，需要不断的重现，反复的强化，才能让学生有深刻的认识.只有当学生能自主地将它用于新的情境、触类旁通的时候，才说明学生已掌握了这一数学本质、数学规律.

数学在社会科学各领域都有非常广泛和重要的应用，学习数学不只是知识的学习，更重要的是方法的学习.只有加强数学思想方法的教学，才能适应课程改革的需求.