多题一解在概率统计课程中的应用举例

刘 倩

(西安电子科技大学 数学与统计学院，陕西 西安 710071)

0 引言

概率统计作为本科阶段一门非常重要的数学基础课程，使学生能够掌握解决和分析不确定问题的基本思想和方法，培养学生运用概率统计方法分析和解决实际问题的能力。课程对培养学生思维的抽象性、创造性、发散性、深刻性、独创性都非常有帮助。在概率统计课程中，例题占有重要的地位，教学过程中，教师可以用例题提问设疑，引发思考，也可以用实例开场，以例引理。然而，教师往往侧重于一题多解[1-3]，训练学生的发散思维[4]，培养学生灵活多变的解题能力，而忽略多题一解、一法多用的归纳思维能力的训练[5]。

本文从概率统计中几个典型例题出发，对该门课程中多题一解、一法多用问题进行探讨，力求让学生掌握概括、综合、归纳、总结的方法，以解决同类问题为契机，透过现象看本质，达到举一反三的效果。“反”在这里是指“类推”，“举一反三”就是说，学一件东西，要灵活思考，善于类推，能由此及彼。这句成语对我们的思维训练启示很大。最复杂、最难的题目的解题技巧，往往是最基本、最简单的解题技巧的变化和组合。当学生把最基本的方法熟练掌握后，通过深入思考，用一种解题方法做出多道题目，对思维能力的培养往往远胜于做出多道难题。

1 生日问题

例1(生日问题)[6]如果一个房间里有23个或23个以上的人，那么至少有两个人的生日相同的概率要大于50%。这就意味着在一个典型的标准小学班级(30人)中，存在两人生日相同的可能性更高，而对于60或者更多的人，这种概率要大于99%。

计算与生日相关的概率问题被称为生日问题，而这些数学事实通常与一般直觉相抵触。从教师授课的角度来讲，生日问题的这种悖论会引起学生的一种兴趣。“一个班级中至少有两个人的生日相同”这个事件发生的概率，并不如大多数人直觉认为的那样小，而是相当大。 比如，23人中有2人生日相同的概率应该远远小于50%。乍一看这个题目，感觉无从下手，仔细分析发现这是一道典型的分房问题，也称投球问题，运用的基本公式是古典概型的概率计算公式。

(1)

(2)

根据(2)式，就不难得到本题一开始给出的数字了。

表面上看似不相同的题目，通过建立模型，发现实质相同。这道题目也说明了“直觉”有时并不可靠，这有力地说明了研究随机现象统计规律的重要性。类似地，投球入盒问题也可以用该方法进行解答。

2 平面上的随机游走问题

例2(平面上的随机游走)[7]一质点从平面上某点出发，等可能地向上、下、左、右方向移动，每次移动的距离为1，求经过2n次移动后回到出发点的概率。

二项分布是重要的离散分布之一，可以容易地推广到n次重复独立试验且每次试验可能有若干个结果的情形，推广后的分布被称为多项分布。例如，四项分布，该题目就是一道四项分布的应用问题。

据表1所示，从调查覆盖的地理区域来说，本调查所收集到的招聘信息涵盖了全国大部分省（直辖市、自治区），获得的招聘信息是比较充分的。

解为了更好地理解四项分布，先来看一道简单的生活问题：

人类的血型主要分为O、A、B、AB四型，假定某地区的居民中这四种血型的人的百分比分别为0.4，0.3,0.25,0.05，若从此地区居民中随机地选出5人，求有两个为O型，其他3个分别为A、B、AB型的概率。

四项分布可以用于这个场合，所求的概率为

(3)

(4)

通过建立模型，发现四项分布也可以用于研究平面上或空间的随机游动。这是一个二项分布平行推广到多项分布的场合。类似地，在产品检测中，若对产品质量所用的标准不只是正品与次品，而是分得更细，例如有一等品、二等品、三等品、四等品这四类，那也是多项分布的应用问题。这种由易到难、由简到烦的推理过程正是我们授课过程中所采用的基本方法，培养学生透过现象看本质的归纳总结能力。

3 女士品茶问题

例3(女士品茶)[8]这个故事最早出现在统计学家Fisher发表于1935年的著作TheDesignofExperiment中。有一位女士，声称自己在喝英式茶的时候能区分出来是茶先倒进杯子还是奶先倒进杯子。于是，Fisher设计了一个实验来判断这位女士的说法是否可信。实验是这样设置的：准备8杯饮料，TM(tea milk，先倒茶后倒牛奶)与MT(milk tea，先倒牛奶后倒茶)各4杯，把它们随机地排在一起，让她品尝，并告诉她TM和MT 各4杯，然后让她指出哪4杯是TM。假设她全部说对了，你相信她有这个能力吗？

初次接触女士品茶这类问题，学生们无从下手。

解先回忆在古典概型的讲授过程中，就已经引入的例题：某接待站在某一周曾经接待过12次来访，已知所有这12次接待都是在周二和周四进行的，问是否可以推断接待时间是有规定的？

假设接待站的接待时间没有规定，而各来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的，那么，12次接待来访者都是在周二 、周四的概率问题是一道典型的古典概型问题，结果为

(5)

人们在长期的实践中总结得到“概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不可能发生的”，这一原理被称为实际推断原理。现在概率很小的事件在一次试验中竟然发生了，因此有理由怀疑假设的正确性，从而推断接待站不是每天都接待来访者，即认为接待时间是有规定的。因此这道题目的求解得益于实际推断原理的应用。

该原理在概率论和数理统计中都有着重要应用，该原理正是女士品茶问题中运用的基本原理。对此问题，Fisher先引进一个假设，这个假设被称为原假设，

H:该女士并无鉴别能力。

(6)

显然，由于第二个事件发生比较稀奇，因而我们有相当的理由认为第一种情况发生了，或者说，该女士4杯全选对这一事件是一个不利用假设H的显著性证据。这样的一个推理过程就叫做显著性检验。

这就是Fisher的假设检验的基本思路。一般我们可以称之为概率意义下的反证法：假设女士没有这个能力(这个假设H被称为原假设)，如果女士很好地鉴别了这8杯茶，那就说明在原假设成立的情况下，发生了非常反常的现象，以至于说明原假设是令人怀疑的。从统计上来说，如果在原假设成立的前提下，发生了非常小概率的事件，那我们就有理由怀疑原假设的真实性。这里推断过程中运用的就是实际推断原理。

女士品茶故事中，Fisher正是当事人之一，这位女士是Fisher的同事，植物学家Muriel Bristol。在今天看来，这个一百多年前的小实验也许并不复杂，却展示出了Fisher先驱性的实验设计思想。因为在Fisher登场之前，科学实验已经进行了几百年，科学家通过构造实验获取新的知识，而Fisher并没有这样做，这正是伟大科学家的与众不同之处。通过这道例题的讲解，不仅向学生引入了Fisher的显著性检验，更重要的是开拓了学生的思路，培养他们灵活运用统计思想解决实际问题的创新能力。

4 假设检验与区间估计的联系

这是一道典型的总体均值未知时,正态总体方差的右侧检验问题。

解首先建立原假设和备择假设，

选检验统计量

(7)

给定显著性水平α，得到该右侧检验的拒绝域W为

因此接受原假设, 即认为满足设计要求。

事实上，这个问题也可考虑用参数区间估计的方法进行解决。为了判断σ2是否小(小是允许的),选左侧置信区间，相应地,求解χ2的右侧置信区间。

选取枢轴量

(8)

表面上看这是一道一题多解的问题，而事实上，我们发现区间估计所使用的枢轴量(7)与假设检验所用的检验统计量(8)有着相同的分布，因此，同一个参数的区间估计问题和假设检验问题关系密切，这一现象并不奇怪，因为区间估计与假设检本身是有联系的，教学过程中，教师应该重视这种联系。

5 结论

教师应重视多题一解、一法多用例题的选择、开发，多渠道、多角度、全方位辐射性地思考问题, 这样不但可起到举一反三、触类旁通的作用, 而且培养了学生思维的深刻性、归纳性, 甚至独创性，从而拓宽所学知识的应用范围。数学的威力和魅力由此可见一斑。

教材往往出于简洁性和逻辑性的考虑，不着重强调描述知识发现的脉络和过程，这就需要教师在授课过程中对教材进行加工改编，改变通常的定义—定理—证明—例题的刻板演绎模式，在课堂上展示数学思维活动和知识发现过程。而在此过程中，恰当的例题会起到画龙点睛作用。既然截然不同的事物可以服从共同的规律，一个数学模型可以描述多种自然现象，那么教学中介绍多题一解、一法多用的案例，就有利于增进学生的这种认识。