高等代数一道习题的推广与误区

周慧倩

(洛阳师范学院 数学科学学院,河南 洛阳 471934)

0 引言

向量是高等代数的重要概念，而向量之间的线性相关性是其中至关重要的内容，是解决线性方程组等诸多问题的理论基础，这部分知识的教学组织和研究也备受关注，很多教学工作者在这方面做出了思考与探索[1-3]。教材中相关习题的选取也极具代表性，本文探讨对其中一个典型证明题的推广。

文献[3]第三章习题第6题有这样一个结论：设向量组α1,α2,α3线性无关，那么向量组α1+α2,α2+α3,α3+α1也线性无关[4]。

1 一种错误推广

如果不仔细思考，很容易想当然地将上述结论向s个情形进行推广。

设向量组α1,α2,…,αs线性无关，那么向量组

α1+α2,α2+α3,…,αs+α1

(1)

也线性无关。

但是事实上这个结论并非总是成立，文献[5]习题四第9题恰是一个反例[5]，下面进行具体分析。

例1 设k1(α1+α2)+k2(α2+α3)+…+ks(αs+α1)=0，则(k1+ks)α1+(k1+k2)α2+(k2+k3)α3…+(ks-1+

ks)αs=0。

由α1,α2,…,αs线性无关可得

(2)

这个齐次线性方程组并不一定只有零解。该方程组含有s个方程s个未知量，它的系数行列式

按第一行展开可得

等号右边的两个行列式分别是下三角形和上三角形的s-1级行列式，因此d=1+(-1)1+s。

当s为奇数时，d=2≠0，方程组(2)只有零解；当s为偶数时，d=0，方程组(2)有非零解。于是可以得到如下结论。

定理1设向量组α1,α2,…,αs线性无关，那么向量组α1+α2,α2+α3,…,αs+α1当s为奇数时线性无关，当s为偶数时线性相关。

2 正确推广

如果进行以下推广，则推广总是成立的。

定理2设向量组α1,α2,…,αs线性无关，那么向量组

α2+α3+…+αs,α1+α3+…+αs,…,α1+α2+…+αs-1

(3)

也线性无关。

证明设k1(α2+α3+…+αs)+k2(α1+α3+…+αs)+…+ks(α1+α2+…+αs-1)=0,则(k2+k3+…+ks)α1+(k1+k3+…+ks)α2+…+(k1+k2+…+ks-1)αs=0。

由α1,α2,…,αs线性无关可得

(4)

齐次线性方程组(4)一定只有零解，该方程组含有s个方程,s个未知量，系数行列式

将第2,3,…,s列都加到第一列，可得

再将第一行乘以-1后加到以下各行，得

可见总有d≠0，于是(3)一定线性无关。

关于此定理还有如下一个密切相关的结论，也出自文献[5]第三章习题的第17题，该习题隐含以下定理。

定理3向量组α1,α2,…,αs与向量组α2+α3+…+αs,α1+α3+…+αs,…,α1+α2+…+αs-1等价[4，6]。

证明令β1=α2+α3+…+αs,β2=α1+α3+…+αs,…,βs=α1+α2+…+αs-1，那么β1,β2,…,βs可由α1,α2,…,αs线性表示。

综上可知，向量组α1,α2,…,αs和β1,β2, …,βs等价。由此也可以证明定理2。