平面向量中最值问题的解法探究

张磊 梁芳

◆摘  要：“平面向量的最值问题”在近几年高考中常以压轴小题的形式出现，题目难度较大，破解方法灵活多样。通过对两道高考题进行“一题多解”与“多题一解”探究，归纳出解决此类问题的三大方法：坐标运算，几何作图与基底转换。

◆关键词：平面向量;最值问题;高考数学;方法

平面向量是高中数学的重要知识模块，在近几年数学高考中，“平面向量的最值问题”是考试命题的热点之一，是试卷中选填部分压轴题的常客，多为综合性强、难度较大的题目，学生往往对此束手无策。一道题目的解法灵活多样，不同题目的解法殊途同归。一题多解有利于培养学生的思维能力，多题一解有助于理解问题本质。本文对两道经典高考题从不同的角度进行剖析，提炼归纳出解决“平面向量的最值问题”的三种方法，供读者参考。

一、问题呈现

三、方法总结

当遇到平面向量的最值问题时，可试从以下三种角度入手解决问题：

方法1：坐标运算。根据题目条件，合理建立平面直角坐标系，将平面向量“代数化”，把向量问题转化为坐标运算的代数问题，简化求解程序，降低解题难度。

方法2：几何作图。抓住平面向量的两大特征——“方向”与“长度”，理解几何意义，运用几何知识，将平面向量“图形化”，巧用数形结合，快速破解问题。

方法3：基底转换。准确恰当地选择基底向量，用基向量表示目标向量，将平面向量“标准化”，明确突破思路，提高解题效益。

这三种方法并非彼此孤立，读者在实际解题过程中应灵活运用，融会贯通，以有效提升“数学运算”“直观想象”“逻辑推理”等数学核心素养。

作者简介

1.張磊（1994—），男，汉族，山西太原人，中央民族大学硕士研究生，主要从事数学教育研究。

2.梁芳（1970—），女，汉族，山西朔州人，中央民族大学副教授，博士，主要从事数学教育哲学研究。