如何运用“数形结合”思维解决函数中两图形相交时自变量的取值范围

杨春梅

初中阶段我们总共学习了三种函数：一次函数、反比例函数、二次函数，这三种函数所涉及的内容多，难度大，教师难教，学生难学。因此笔者对一次函数和反比例函数两个图像相交时，如何求自变量的取值范围进行了相关研究，发现要很好的解决这个问题，就要合理的使用数学中数形结合的思想。

一.两个图像的交点在第一、三象限

例1：如图1所示一次函数与反比例函数，

（1）若>.求自变量的取值范围.

（2）若<.求自变量的取值范围.

解析：第一步：分别过A、B两点作轴的垂线m、n，如图 2，找到

直线m、n与軸的交点的横坐标=-3，=2.

第二步：观察三条直线m、y、n，将整个平面分成了四个部分，从左到右用一、二、三、四标出来。

第三步：找到每一部分的界点，如图2，第一部分，即直线m的左边，用<-3表示;第二部分，即直线m与直线y之间，用-3<<0表示;第三部分，即直线y与直线n之间，用0<<2表示;第四部分，即直线n的右边，用>2表示。

第四步：看题目要求，第（1）问>，求的取值范。这里要注意理解“>”即一次函数的图像在反比例函数的上方，观察图2，符合条件的只有第二、四部分，就可以得出的取值范围为-3<<0和>2。同理可得第（2）问“<”，即一次函数的图像在反比例函数的下方，符合条件的只有第一、三部分 ，就可以得出x的取值范围为<-3和0<<2。

二.两个图像的交点在第二、四象限

例2：如图3所示一次函数与反比例函数，

（1）若>.求自变量的取值范围.

（2）若<.求自变量的取值范圍.

解析：第一步：分别过A、B两点作轴的垂线，如图 4，

找到直线与轴的交点的横坐标=-3，=2.

第二步：观察三条直线，将整个平面分成了四个部分，从左到右用一、二、三、四标出来。

第三步：找到每一部分的界点，

如图4，第一部分，即直线m的

左边，用<-3表示;第二部分，

即直线与直线y之间，用-3<<0表示;

第三部分，即直线y与直线之间，用0<<2表示;第四部分，即直线的右边，用>2表示。

第四步：看题目要求，第（1）问>，求的取值范。这里要特别注意理解“>”即一次函数的图像在反比例函数的上方，观察图4，符合条件的只有第一、三部分，就可以得出x的取值范围为<-3和0<<2。同理可得第（2）问“<”，即一次函数的图像在反比例函数的下方，符合条件的只有第 二、四部分 ，得出的取值范围为-3<<0和>2。

综上，对于一般的一次函数与反比例函数的图像相交，设交点的横坐标为、（<），則的取值范围归纳如下：

对于整个解答过程可以归纳为：一画垂线，二分区域，三找界点，四定范围。当然，在具体的问题中，还需要灵活处理，比如有时会只出现某一个象限的图像，或者说交点只有一个，如图5、图6.

图5，看交点所在象限（即第一象限）的图形，如图7;图6，看交点所在的象限（即第四象限）的图形，如图8。然后按照上述四个步骤进行。这里要注意第二步分区时，只观察一个象限，只有两个部分。

因为只有两个部分，所以这类题的结果只有一种情况，具体操作可参照前面的解析。

由此可看出，运用数形结合的思想方法解决问题很轻松、很快捷，更重要的是学生容易理解。本文，笔者虽然只解析了一次函数和反比例函数两个图像相交时，如何求自变量的取值范围，此方法其实也适用于一次函数和二次函数两个图像相交时自变量的取值范围的求解。我国著名数学家华罗庚曾经说过“数缺形时少直观，形少数时难入微。”在几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，而数量关系又常常可以通过几何图形做出直观的反映和描述。通过“数”与“形”相互转化，从而达到解决问题的目的，因此数形结合也就成为研究数学问题的重要思想方法。尤其是在解决函数问题时，恰当运用数形结合，往往使得问题迎刃而解，达到事半功倍的效果。在教学过程中，我们教师要有意识的向学生渗透数形结合的思想，让学生活学活用，才能更有效的提高学生学习数学的效率，进而提高学生的数学素养。