培养学生“懂而会” 提升学生数学学力

颜福进

（张家港市沙洲中学，江苏苏州 215600）

引 言

《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出，需要学生通过高中阶段的数学学习，能获得适应现代生活和未来发展所必需的数学素养，满足个人发展与社会进步的需要。因此，在数学教育中，提升学生的数学学力显得更加重要[1]。懂、会、熟、巧是学生数学学习中螺旋上升的四个层次，其中，“懂”与“会”是学生学习的基本要求。在当下的数学学习中，既存在“懂而不会”问题，又存在“会而不懂”问题。一味纠结学生的“懂而不会”与“会而不懂”都是不成功的教育，笔者希望学生对高中数学知识做到懂而会、会而熟[2]。

一、消除“懂而不会”现象的策略思考

常有学生反映“课上听得懂，课后作业不会做”，俗称“懂而不会”问题。这种问题的背后主要有两个原因：一是学生的“懂”是表面上的懂，懂的可能只是知识性记忆，或者是“对这个问题就可以这样解”，而不是思考“为什么要这样解”；二是从“懂”到“会”有一个过程，需要学生的“加工”，即思考、分析、理解、运用，才能达到“会”；三是有的学生对教师有很强的依赖性，遇到不会的问题不会主动思考、解答，而是等待教师去讲解。所以有的学生尽管上课时听得“头头是道”，课后做练习时却找不着解题方向，原以为听懂了就记住了，其实并没有内化为自己的知识能力[3]。

学生“懂而不会”的问题，如何消除呢？教师在课堂上可以通过及时暴露学生的“问题”和加强“变式教学”两种措施来实现。

（一）及时暴露学生问题，让学生“懂”得深一点

教师要善于预设课堂上的问题，知晓学生的难点和易错点。课堂上，要引导学生提出问题，包括个人理解、看法、学习体会等，将问题当堂解决，而不要留到课后。

案例1：在教学“基本不等式”的内容时，教师可以运用这一例题。已知a，b∈R+，且a+2b=1，求的最小值。

生1：由a，b∈R+，由可得又因a+2b=1，所以故的最小值为

生2：由a，b∈R+和a+2b=1，得故的最小值为

教师请两位学生分别交流自己的解题思路，看似很有道理，但他们利用了两个基本不等式的运算（加法和乘法），最后能不能取到等号呢?这个知识是这部分内容的难点，也是易错点。教师应当在课堂上通过和学生一起分析，师生合作，寻找产生问题的原因。

本题等号成立的条件需要前两个等号同时成立，但在本题中是不可能的，故这两种解法都是错误的。解答本题时尽量只选用一个不等式，将a+2b=1 代入，得当且仅当时取等号，故的最小值是这样才是正确的解题过程。

课堂上对学生暴露出的问题，教师不要急于否定，要让学生讲出来，师生一起寻找问题、分析问题。问题是课堂上最好的教学资源，在师生共同解决问题的过程中，学生对知识就会“懂”得更深一点。

（二）加强“变式教学”，培养学生的思考、辨析能力

变式教学是运用不同的知识和方法，对有关数学概念、定理、习题等进行不同角度、不同层次、不同背景的变化，从而有意识地引导学生从变的现象中发现不变的本质，从不变中探求规律。课堂上，教师可以通过变式教学，提高学生的思考、辨析能力，促进学生对数学知识的深入理解[4]。

案例2：在教学“函数的奇偶性”时，教师给出例题：判断下列函数的奇偶性，并说明理由。

问题①的变式教学让学生透彻理解该定义，掌握定义的内涵和外延，特别是搞清楚函数存在奇偶性，必须满足“函数的定义域关于原点对称”等有关问题。

这里学生忽略了先求函数的定义域，根据函数的定义域将函数化简后再判断函数的奇偶性。事实上，对函数由x-1 ≠0 得x≠1，所以此函数的定义域不关于原点对称，故f(x)为非奇非偶函数。

教师在课堂上安排变式教学，引发学生头脑中固有思维模式的冲突，使学生加深对“函数的定义域关于原点对称”的必要性的理解。教师设置反例、错例辨析的变式训练，通过对问题正面、侧面、反面的分析，使学生发现问题的症结所在，达到去伪存真、由此及彼的目的。这样学生对知识的理解就会更进一步，“会”得就更多一点。

二、消除“会而不懂”现象的思考

学生会机械做题，但不太理解数学，数学学习演变成一种形式化、无意义、机械式的解题训练[5]。丘成桐教授曾与高考数学尖子生交流，学生的认识令他颇为失望。大多数学生对数学根本没有清晰的概念，对定理不甚了了，只是沦为做习题的机器。所以，消除“会而不懂”现象势在必行。一线教师在数学课堂上要多问学生为什么，开展深度教学，让学生既“会”解题，又“懂”数学。

案例3：“组合”的教学中，规定：0! =1 。

生：为什么0! =1 ？

教师应和学生一起探究，从组合的含义看，0!本身是无意义的，这确实不好理解。而且，我们知道当n=m时，由组合数的含义，可知= 1。但根据组合数公式，又得到而产生了规定0!的必要性。那么，规定等于多少呢?由此只能规定等于1，而不能等于其他数，保证了组合数公式的合理性。

案例4：“指数函数”的教学中，把函数y=ax（a＞0，a≠1）叫作指数函数。

生问：为什么a＞0，a≠1？

对于a≠1，一般都理解为：若a=1，y=a为常数函数，研究价值不大。对于为什么要a＞0的解释，有些人认为是使x∈R，这显然是一种没有思考而做出的错误判断。其实，当a是负数时，如a=-2，(-2)x具有不确定性，有时有意义，如有时无意义，如当等；有时是正数，比如(-2)2=4；有时又是负数，如(-2)3= -8。实际上，如果a＜0，y=ax就不是一个连续函数。对于一个不连续且充满无穷多个间断点的函数研究起来会很麻烦，甚至无法研究。所以，为了研究方便，对a的范围规定为

由于学生在数学学习过程中对一些数学概念或数学原理的发生、发展过程没有深刻的理解和必要的探究，仅仅停留在表象的概括上，对知识只是“知其然，而不知其所以然”，对此，教师应该让学生“知其然，更知其所以然”。学生多数“会”而不“懂”的内容，基本集中在数学概念及数学本质问题上。这些“为什么”需要教师的重视和理解。教师可以查阅资料，从数学学科出发，给予学生明确、清晰的回答。学生也可以自主研究，开展文献阅读和数学写作，采用多样化的学习方式，持之以恒地思考，然后才能既“懂”又“会”，有所收获[6]。

结 语

《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出，教师应帮助学生理解和掌握数学的基础知识和基本技能。在课堂教学中，教师要积极引导学生理解数学知识，不要“以其昏昏，使人昭昭”。因此，培养学生既“懂”又“会”，不仅能利用数学知识解题，还能“懂”数学，“会”研究数学，成为研究型的学生。