《万有引力与航天》中“跟随”与“环绕”问题分析

张驰 郭春文

[摘   要]《万有引力与航天》涉及两种圆周运动：地球上的物体跟随地球的自转做圆周运动，天上的卫星环绕地球做圆周运动。两者特别容易混淆。文章针对这一难点进行分析，并指出地球同步卫星是两者的纽带。

[关键词]万有引力;跟随;环绕;向心力

[中图分类号]    G633.7        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2020）32-0049-03

地球上的物体被动地跟随地球做圆周运动，这种运动与地球的自转有关。天上的卫星主动环绕地球做圆周运动，从动力学角度看，这种运动与地球的自转无关。虽然这两类模型都是匀速圆周运动，但二者还是有所区别的，其中最本质的区别在于向心力的來源不同。本文结合高考题、模拟题进行剖析。

一、跟随模型

1.向心力来源：由万有引力的一个分力提供

课本上，重力是这样定义的：因为地球的吸引而使物体受到的力叫重力，那么为什么不直接说万有引力就是重力呢？其实，地球不停地自转导致地球上的物体被迫跟随它做匀速圆周运动，其向心力由万有引力的一个分力提供，万有引力的另一个分力就是我们熟悉的重力。如图1所示，万有引力的方向指向地球球心，向心力方向垂直地轴，重力方向竖直向下。物体跟随地球自转做圆周运动，这种运动跟地球的自转有关。

2.在考虑地球自转的情况下，万有引力与重力的关系

随着纬度的降低，物体跟随地球自转而做圆周运动的轨道半径增大，因而物体做圆周运动的向心力F向 （[F向=mω2r]，式中[ω]是定值）也随之增大，故物体重力随着纬度降低而减小，即重力加速度g从两极到赤道逐渐减小。正是由于地球的自转，导致不同纬度处的重力加速度有所不同。

接下来讨论两个特殊位置的情况。如果物体在地球两极表面，则物体不会跟随地球自转而做圆周运动，即[r=0]，[F向=0]，因此万有引力全部等于重力。如果物体在地球赤道表面，万有引力和它的两个分力（即重力和向心力）都指向地球球心，因此万有引力等于重力与向心力之和。（具体见例题1）

如果物体放在地球表面一般位置，需要把万有引力按照力的平行四边形定则分解为重力和向心力，结合物体所在的纬度加以计算。

3.在不考虑地球自转的情况下，万有引力与重力的关系

当物体处在地球赤道表面时，物体随地球做圆周运动的半径最大，需要的向心力最大，[F向max=mω2R=m2πT2R]，此时向心力与万有引力的比值：[m2πT2RGMmR2=4π2R3GMT2≈1300]（G是引力常量，R是地球半径，M是地球质量，T是地球自转周期，都是已知量）。

向心力最多也只占万有引力的三百分之一，微乎其微，因此才可以忽略向心力，即忽略地球自转的影响。在不考虑地球自转的情况下，可以认为地球表面上的物体受到地球的引力等于该物体在地球表面处的重力，即[GMmR2=mg]（G是引力常量，m是物体质量，R是地球半径，M是地球质量，g是地球表面的重力加速度）。此式建立了地球质量、半径和地球表面重力加速度之间的代换关系，其重要性堪比黄金，因此称为黄金代换。

如果是在距离地球表面一定高度h处，则该位置到地球球心距离不再是地球半径R，而是R+h，用R+h取代R即可，即[GMmR+h2=mgh]，此式也是黄金代换式（其中[gh]是在距离地面一定高度h处的重力加速度），此式也说明了随着高度的增加，重力加速度逐渐减小。（具体见例题2）

当然，并不是所有星球都像地球这样可以忽略自转。如果某个星球自转效应明显，则对于该星球黄金代换式就不成立了，或者说近似度很低。

二、环绕模型

1.向心力来源：万有引力全部用来提供向心力

我们知道，人造卫星环绕地球的运动可以视为匀速圆周运动，向心力全部由地球对卫星的万有引力F 提供，如图2所示。从动力学角度看，地球的自转对卫星的圆周运动没有影响。

不仅仅人造卫星环绕地球运动，类似的运动情景还有很多，比如月球环绕地球运动，地球环绕太阳运动。如果A环绕B运动，我们把A叫作环绕天体，把B叫作中心天体。中学阶段，我们可以认为环绕天体绕中心天体做匀速圆周运动，万有引力全部提供向心力，这一点与跟随模型有着本质的区别。中心天体质量记为M，半径记为R，环绕天体质量记为m，轨道半径记为r。

2.环绕天体的角速度、公转周期、线速度、向心加速度和轨道半径的关系

通过参考例题4，我们可以看出这两类模型也不是孤立的。无论是地球同步卫星，还是其他普通卫星，环绕地球做匀速圆周运动时，从动力学角度看，万有引力全部用来提供向心力，向心力来源是一样的。从运动学的角度看，地球同步卫星绕地球运动的周期和地球自转周期相等，当然也等于地球上的物体跟随地球自转而做圆周运动的周期。因此，地球同步卫星是连接跟随模型和环绕模型的重要纽带。

[   参   考   文   献   ]

[1]  李良伟.天体运动的几种模型[J].物理通报，2016（8）：61-64.

[2]  张炜.关于万有引力问题的两个典型模型[J].中国校外教育，2015（9）：124.

[3]  先春.万有引力中的易混淆的三个问题[J].才智，2008（18）：131.

（责任编辑 易志毅）