复数解题常见错误分析

■江苏省锡东高级中学 华 滨

复数是数系在中学阶段的最后一次扩充，在高考中常以选择题和填空题的形式出现，考查难度相对比较基础，但是也会因为基本概念不清晰、基本运算不扎实、几何意义不明确等多种原因出现一些所谓的低级错误。本文就此对复数中的典型错误进行了梳理剖析，希望对同学们的学习能有所帮助。

一、概念不清而导致错误

例 1（2020年深圳一模）已知复数z=i2019+i2020（i为虚数单位），则z的共轭复数=（ ）。

A.-1+i B.1-i

C.1+i D.-1-i

错解：选A。

剖析：本题错误的原因主要是对于共轭复数的概念不清楚。一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，即复数z=a+bi（a，b∈R）的共轭复数为z=a-bi（a，b∈R）。

正解：因为z=i2019+i2020=（i2）1009·i+（i2）1010=-i+1，所以z的共轭复数为1+i。故选C。

例 2（2020年全国名校高三模拟）若复数z满足i（z+2）=-2+3i（i为虚数单位），则z的虚部为（ ）。

A.i B.2i C.1 D.2

错解：选B。

剖析：本题错误的原因主要是对于实部、虚部的概念不清楚，虚部究竟带不带i，是很容易出错的地方。复数z=a+bi（a，b∈R），其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部。

正解：因为i·z+2i=-2+3i，所以z=故选D。

例 3（人教A版课本选修1-2习题改编）若复数z=（m2-5m+6）+（m2-3m）i是纯虚数，i是虚数单位，则实数m=（ ）。

A.2或3 B.3

C.2 D.0

错解：因为复数z=（m2-5m+6）+（m2-3m）i是纯虚数，所以m2-5m+6=0，解得m=2或m=3。故选A。

剖析：本题错误的原因主要是对于纯虚数的概念不清楚。复数z=a+bi（a，b∈R）为纯虚数的充要条件是二者缺一不可。

正解：结合题意可得解得m=2。故选C。

例 4（2020年陕西高三二模理）设复数z满足|z-1+i|=1，z在复平面内对应的点为P（x，y），则点P的轨迹方程为（ ）。

A.（x+1）2+y2=1

B.（x-1）2+y2=1

C.x2+（y-1）2=1

D.（x-1）2+（y+1）2=1

错解：选A。

剖析：本题考查复数模长的公式，可以设z=x+yi（x，y∈R），再转化为复数模的公式进行解题。当然也可以看成两个复数差的模的几何意义，即|z1-z2|的几何意义是复数z1和z2对应两点间的距离。所以本题可以把原式改成两个复数差的模，再根据几何意义进行解题。

正解1：设z=x+yi（x，y∈R），因为|z-1+i|=|（x+yi）-1+i|=|（x-1）+（y+1）i|=1，根据复数模的公式解得（x-1）2+（y+1）2=1。故选D。

正解2：设z=x+yi（x，y∈R），因为|z-1+i|=|z-（1-i）|=1，所以复数z对应点（x，y）与点（1，-1）之间的距离为1，其轨迹是以（1，-1）为圆心，1为半径的圆，即（x-1）2+（y+1）2=1。故选D。

总结：在高考中复数作为一个必考的知识点，考查的要求并不高，也比较容易，一般考查都以基础题、送分题为主。在复习过程中往往一带而过，如果思想上不重视，这对于一些基础知识掌握不牢的同学来说往往会出现不必要的错误。所以在解决复数概念相关问题时应重视方法：（1）解题时先把一个复数化简为z=a+bi（a，b∈R）的形式，确定实部与虚部；（2）复数的分类及对应点的位置都可以转化为实部与虚部满足的方程（不等式）组。

二、忽视运算法则而导致错误

例 5（2020年宜宾高三第二次诊断）设i是虚数单位，则（2+3i）（3-2i）=（ ）。

A.12+5i B.6-6i

C.5i D.13

错解：（2+3i）（3-2i）=6-4i+9i-6i2=5i。故选C。

剖析：本题产生错误的主要原因是把i2算成了1，导致最后结果的错误。在复数中，我们规定i2=-1。

正解：（2+3i）（3-2i）=6-4i+9i-6i2=12+5i。故选A。

例 6已 知z= （1+i）（2-i），则|z|2=（ ）。

A.8+6i B.3-2i C.5 D.10

错解：因为z=（1+i）（2-i）=3+i，所以|z|2=z2=（3+i）2=8+6i。故选 A。

剖析：本题错误的原因是复数的模与向量的模（或与实数的绝对值）相混淆，导致运算出问题。复数z=a+bi（a，b∈R）的模为不一定成立，当复数z为实数时等式成立；当复数z为虚数时等式不成立。

正解：因为z=（1+i）（2-i）=3+i，所以|z|2=32+（-1）2=10。故选D。

总结：复数的四则运算也是高考考查的重点，在运算过程中要细心，注意解题方法，一般有两种处理方法：（1）如果是分式形式，我们可以通过分子分母同乘以分母的共轭复数进行分母实数化，化简为z=a+bi（a，b∈R）的形式；（2）可以设z=a+bi（a，b∈R），利用复数相等的条件进行处理。

三、忽略虚根成对出现的前提条件而导致错误

例 7（人教A版课本选修1-2习题改编）已知2i-3是关于x的方程2x2+px-i=0的一个根，求另一个根及p的值。

错解：因为2i-3是方程2x2+px-i=0的一个根，所以另一个根为-2i-3，由韦达定理可得p=12。

剖析：若虚数a+bi（a，b∈R）是实系数一元二次方程的一个根，那么它的共轭虚数a-bi（a，b∈R）也是这个方程的根。注意这个结论中的前提是实系数一元二次方程，但本题中并不知道p的虚实，所以不能使用这个结论，但韦达定理仍然适用。所以本题的解答应该将一个根代入，整理化简，求出p，再利用韦达定理求出另外一个根。

正解：因为2i-3是方程2x2+px-i=0的一个根，所以将其代入原方程，则2（2i-3）2+p（2i-3）-i=0，化简整理得p=设x0是方程的实数根，由韦达定理可得。

总结：虚根成对出现的前提条件必须是实系数一元二次方程，在复数范围内就不一定适用了，这也是同学们理解上的一个难点，需要后期多多训练，理解方法，方能解决这个问题。

综上所述，在复数的解题过程中出现错误的原因是多样的，有的是同学们基础知识不扎实，有的是运算能力不过关，有的是受思维定式影响，有的是解题方法的选择不当等，这些因素的存在导致同学们在解题中面临各种各样的困难。因此，本文将一些常见错误进行归纳和剖析，使同学们能够避免类似错误的发生，提高解题正确率，培养同学们的解题思维能力。