双激励信号驱动下矩形波导内电场特性研究

向少华， 向 成， 程雪颖

（怀化学院1.电气与信息工程学院；2.武陵山片区生态农业智能控制技术湖南省重点实验室，湖南怀化 418008）

1 引言

矩形金属波导因其结构简单、机械强度大、抗干扰能力强和辐射损耗低等优点深受关注，它的电磁特性被广泛地研究[1-3].目前，它作为传输线和构成微波元件的基本单元已应用于大功率微波系统中.亚波长金属波导能显著地产生电磁增强效应[4，5].同时，矩形金属波导是《电磁场与电磁波》课程中分离变量法求解电磁场特性最为经典的例题[6，7].借助计算机分析软件，能形象直观地展示波导内电场与磁场的分布情况，进而了解电磁场的基本特性.据我们所知，在研究波导电磁特性时，其外金属壁只受到一个激励信号的驱动[6-8].多激励信号驱动下的波导电磁特性研究至今鲜有报道.

在本论文中我们研究一个双激励信号下矩形波导模型.波导内是一个无源区，电位满足拉普拉斯方程，而外壁加有两个激励信号，故边值问题为两个奇次和两个非奇次的边界条件.直接用分离变量法求解有一定的困难.为了化解非奇次边界问题，根据电位叠加原理，我们将电位进行拆分，使之满足一个非奇次边界条件和一个奇次边界条件，最终获得其电位函数的解析表达式.对于波导内的电磁波，在静态场的基础上乘以波动因子，得到电场的解.根据麦克斯韦电磁理论，得到磁场的解，进而就可以分析激励信号下波导管内电磁场的电磁特性.因此，本文仅分析波导内静电场的基本特性，讨论外部激励信号幅度、极性等和波导细裂等因素对等势位和电场强度分布的影响.

2 矩形波导横截面内电场模型理论

有一个z方向无限长的矩形波导，其侧壁接地，底部和顶部加有一个激励信号V1s（x）与V2s（x）.为保证它们与侧壁绝缘，它们之间留有非常小的间隙.波导横截面的宽边尺寸为a，窄边尺寸为b，如图1所示.波导横截面内电位在x-y直角坐标系下满足拉普拉斯方程

图1 矩形波导模型

设 Φ（x，y）=X（x）Y（y），代入并整理方程（1）得：

式中k为分离常数，它的取值不同，方程的解也有不同的形式.不难求得位函数的通解是

式中A，B，C，D为待定系数，它们可由边界条件和初始条件决定.

若按常规方法求解波导横截面内电位会碰到计算上的困难，但可根据电位叠加原理，将电位进行分解并赋予特定的边界，化解此问题.

于是获得 Φ（1x，y）的表达式为：

3 理想矩形波导横截面内静电场特性

根据经典电磁理论，若已知电场的电位分布函数，则其电场强度是

图2 双恒定激励信号下矩形波导横截面内电位分布情况及其等电位与电场强度关系

根据式（5）—（7），研究矩形波导在外激励信号驱动下，其横截面上电位与电场的分布情况.注意，当极板加入正弦激励信号，我们认为在一个金属极板上要实现正负极性相间的分布是不可能的，因此它仅作为一个理论学术上的研讨而没有任何的实际意义.本文讨论上下金属极板接入不同极性的恒定电压，矩形波导横截面尺寸是4×3 cm的情况.模拟结果如图2所示，其中子图a-b对应模拟电压参数是V1（x）=V2（x）=6V，子图c-d对应模拟电压参数是V1（x）=6V，V2（x）=-6V.图2（b）和（d）中虚线代表等位线，带箭头的实线代表电场线.由图2（a）和（c）可以看出，在双驱动信号的作用下，其电位展示了丰富的分布结构.若上下极板接入正恒定电压，则电位在槽的宽边方向呈现“拱门”形状，即两边电位低，中间处电位高；在窄边方向呈现“马鞍”状，两边电位高，中间处电位低.当接入极性相反的驱动信号时，电位由上极到下极板依次单调递减.这种现象是电位叠加原理和电场唯一性定理的集中体现.此外，可以由图 2（b）和（d）看到，矩形金属槽横截面内电场与平行板电容器内的电场不同.由于波导侧壁接地，因此电场线从正极性的金属板出发，终止于两侧壁或负极性金属板.它为一个非均匀电场.若两极板接入相同极性的外激励信号，靠近管壁处电场强度大，中心区域电场强度小；若接入极性相反的外部激励信号，横截面中心处域电场强度大.这个可用偶极子模型解释[8].

4 带细缝的矩形波导静电场特性

考虑一个有实际应用意义的模型，即假设在图1矩形金属槽的上极板中心处有一条细小的无限长缝.缝的两边分别接入幅度不同的电压U1和U2，其它三边接地.在此情况下，金属槽的边界条件是和按照第2部分的解题方法，不难求得电位的表达式是：

图3 双激励信号下带有狭缝的矩形波导横截面内等电位和电位与电场强度分布

其中系数gn是

由式（9）可以看出，当无狭缝和U1=U2时，它自动地恢复为式（5）.已知电位函数式，我们就可以研究带有缝隙的矩形波导横截面内电位与电场强度的分布情况.

图3是运用Matlab软件分别画出的矩形波导横截面上电位函数和电场线、磁场线的分布情况，其中波导长度为4 cm，宽度为3 cm，子图（a）和（d）对应的模拟参数是缝的左右边电压为6 V，子图（b）和（e）对应的是缝的左边电压为 6 V，右边电压为 12 V，子图（c）和（f）对应的是缝的左边电压为-6 V，右边电压为12 V.当左右两边电压相等时，电位与电势分布具有对称性.但是当两边电压不等时，狭缝对电位和电场分布的影响非常显著，尤其是缝两边接入不同极性的外部激励信号，电位和电场强度表现出更加无序性和无规律性.若不借助绘图软件，很难把握电位与电场强度的整体感，也无法想象横截面内静电场的基本特性.

5 结论

对于较为复杂的波导系统，其内静电场理论深奥，数学公式复杂，现象理解难度大，空间分布抽象.本文结合Matlab软件，利用电位叠加原理和分离变量法，研究了双激励信号驱动下矩形波导横截面内静电场问题以及细缝对波导静电场的影响.发现了不同极性的激励信号均能显著改变横截面内静电场电位和电场强度的分布，特别是波导的裂缝严重恶化了电位和电场强度的分布，呈现了无序化状态.本文所得的结果对于波导的实际工程应用和电磁理论的学习具有一定的理论意义和实用价值.