变与不变

朱蕾

社会在变革，技术在发展，特别是疫情期间，教学时空的变化，让我们更深层次地去思考教学的本源是什么，为何而教。本期杂志的导读，将透过教学中的种种变化，解读其背后的不变。在变与不变中，厘清教学本质。

一、变的是单位，不变的是“大想法”

本期“专题研究”里有一篇郜舒竹教授的文章《“乘”的想法始于哪儿》。一直以来我们都把“乘”视为“相同加数求和”，也就是“重复加”的过程，乘的目的是使加的过程简化，这也是小学数学教学中的普遍认识。但郜教授在文章里却有了不同的结论。郜教授通过论述“重复加的窘境”，发现“乘”作为运算，其意义在小学数学课程内容中，呈现出不断进化的动态特征，例如在低年级对乘运算形成的认识是重复加，那么到高年级学习小数和分数的运算时就会出现认知困难。郜教授通过分析“‘增加的两种眼光”，阐述了“乘”的想法始于看待“單位”的眼光的改变：“加”是保持单位不变的运算，而“乘”是使单位改变的运算。例如2米高的植物长到6米，从“加”的眼光看，就是2米+4米=6米，原有高度和增加高度两个加数可以分别看待，是一种互不影响的并列关系;如果我们换一种眼光，从“乘”的眼光看，这样的生长过程可以看作是2米×3=6米，这里的3与原有高度不是并列关系，是一种包含关系，表示3个2米。通过这样的多个例子，进一步说明了从想法上说，“乘”的认识是先于“加”的，而且两者有本质的差异，“乘”的想法主要体现为“单位化”的眼光以及运算过程中的“单位转换”。这样的想法在数数和记数时，就已经出现。郜教授提出“乘”作为数学课程中的重要内容，其意义是动态的、发展的、变化的。认知起点并不限于“加”。乘的想法源于“单位化”的眼光，乘的运算在于实现单位转化。

这篇文章在帮助我们厘清“乘”和“加”之间关系的同时，也给了我们很好的教学建议。即在计算教学中仅关注算法和算理是远远不够的，还要关注背后的想法，抓住不变的那个具有普遍意义的“大想法（big idea）”，例如“单位化”和“单位转化”这样的大想法，对于学生思维发展以及今后的数学学习都将会起到重要的作用，这也是目前我们提倡的基于素养导向的大概念教学，从教授专家结论转向培养专家思维。

二、变的是内容，不变的是基本取向

本期的“本期话题”是一组有关数学拓展课开发与实施的文章。数学拓展课是基础性课程的有益补充，在激发学生兴趣、关注生活经验、落实核心素养、实现深度学习上有着不可替代的作用。《人民教育》2020年创刊70周年纪念号上的一篇文章《全球教育变革的六大趋势与挑战》中指出“项目式学习深入课程教学改革”是教育变革趋势之一。面向未来，上好数学拓展课，有着极其重要的价值和意义。

潘红娟老师和她的团队经历区域调研、行动研究后，由点及面类化梳理，初步形成了“数学绘本类”“数学文化类”“数学游戏类”“项目学习类”“综合实践类”等各类数学拓展课的基本模型。潘老师的团队给出了五个案例：《河狸是个修房高手》是数学绘本类的拓展课;《小区垃圾知多少》是项目学习类的拓展课;《共享单车中的数学问题》是现实话题类的拓展课;《测量人体的表面积》是综合实践类的拓展课;《脚印的面积有多大》是数学文化类的拓展课。通过阅读这五个案例，我们发现教学的内容在变，但不同课型的教学结构、教学流程却有着共性特点。潘老师在文中指出，数学拓展课的基本流程为：首先寻找核心知识，确定素养目标;第二步设计驱动性问题;第三步厘清解决问题的认知策略;第四步设计学习活动或项目任务;第五步设计成果交流与评价方式;最后设计成果展示与延伸任务。但在这些不变中又蕴含着变，不同内容的同类课，一定会有若干种变式，以适应不同的学生、不同的情境和不同的主题。

辩证阅读这组文章后，我们发现在变与不变中，恒定不变的其实是价值取向，“学科育人”是数学拓展课的立意之本。数学拓展课的基本取向是着眼于综合素养，坚守学科特质，将“数学认知目标”融于“整体育人目标”，这也是数学拓展课不变的基本取向。

三、变的是方法，不变的是学生立场

作为教师，我们每天面对的是学生，教育是直面人、发展人的事业，当然学科教学也不例外，眼中有学生，心中才会有方法。本期就有这样的文章说明了变的是方法，不变的是学生立场。

曾根红老师的《一年级学生“反向等式”掌握情况调查分析》一文，对一年级学生正向与反向计算题掌握情况进行了调查，发现学生对正向等式接触多、练习多，正确率比较高，计算反向等式正确率偏低。曾老师通过对调查结果的统计分析以及对学生的访谈，发现主要原因是学生对反向等式的意义理解不深，缺少解决问题的方法。曾老师也在文中给出了教师加强反向等式教学的操作建议，运用直观演示的方法，让学生经历学习过程，理解反向等式的意义，掌握解决问题的方法。郜舒竹教授曾在《不同未必是错误》一文中指出学生的任何“错误”都有其合理性，这种合理性往往体现在学生的认知规律和数学规律两个方面。在教学过程中，教师的一个重要任务就是基于学生立场，研究这种合理性。首先要有意识地搜集、整理学生的错误案例。然后辨别搜集来的案例究竟是不是错误的。第三，分析产生错误的原因。最后思考如何实施有针对性的教学。这给了我们研究学生“错误”的范式，本期曾根红老师的研究就是这样基于学生立场，给出教学方法。

研究“错误”需要有学生立场，我们的教学设计亦是如此。谢红英老师和张金河老师在《“变教为学”理念下的有效学习活动设计》一文中指出，有效的教学活动体现在学生的主体性上，要设计有效的学习活动，教师可以在解决问题的关键处、生活与数学的结合处、学生的认知冲突处、学生的认知错误处这四个方面下功夫，认真做到让每一位学生都参与，每一位学生都有机会，每一位学生都受到重视，使每一位学生都获得自由、自主、自信的发展。

此外，本期还有一些基于学生立场的文章值得一读。《探循环之“源理”   定循环之依据——以学定教“循环小数”实录与评析》一文告诉我们，学生对循环小数的认知不是零起点，教师需要把握学情，尊重学情，学生已经知道的、自学能会的知识，就应该放手让学生展示，在自学和交流中不断完善认知。《素材 方法 过程——例谈空间想象能力培养应把握的三个要点》一文，利用案例说明了教学中要选择符合学生认知基础的素材，才能引发学生主动想象和探究。《从杂乱走向有序——记人教版二年级上册“用三角尺拼角”一课教学》一文指出，要在分析学生错误归因的基础上，设计合适的教学环节展开教学，以达成教学目标。

寻找变与不变是一个辩证的过程，有了这样的辩证阅读，我们才能拨开迷雾，看到本质，找到教育的初心。这也是这期杂志带给我们的思考。

（浙江省杭州市崇文教育集团   310014）