从一道考题的多解看初中数学几何解题能力的培养

摘 要：在各地历年的中考数学试卷中，几何题的分量都是很重的，大多数的压轴题都是几何题或与几何相结合的综合题。因此，加强学生几何解题能力的培养，对提高教学质量、提升中考成绩有十分重要的意义。培养学生的几何解题能力，应从提高对几何基本图形和基本结论熟悉程度，加深对定义、定理、公理、判定、性质的理解，善于发现图中的隐含图形，掌握基本的几何变换和数学基本方法以及几何证明的常见分析方法等六个方面着手。

关键词：中考试题;基本图形;基本变换;基本方法

在2019年广西贵港市中考的数学试题中，有下面这道题目：

已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，将△ABC绕点C顺时针方向旋转得到△A′B′C，记旋转角为α，当90°<α<180°时，作A′D⊥AC，垂足为D，A′D与B′C交于点E。

（1）如图1，当∠CA′D=15°时，作∠A′EC的平分线EF交BC于点F。

①写出旋转角α的度数;

②求证：EA′+EC=EF。

这道题属于四边形综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，综合性强，难度大，方法灵活，有多种不同解法。

（1）②的思路一：在EF上截取EG=EC，先证△CEG为等边三角形，再证△CGF≌△CE A′即可。

（1）②的思路二：过C作CG∥A′D交EF于G，先证△CEG为等边三角形，再证△CGF≌△CE A′即可。

（1）②的思路三：延长ED到G，使DG=DE，先证△CEG为等边三角形，再证△CG A′≌△CE F即可。

（2）的思路一：连结A′F，由△CGF≌△CE A′可知C=CF，从而可证△A′CF为等边三角形，进而可证A′E同时平分∠FE B′和∠F A′B′，从而△A′EF≌△A′E B′，于是得B′与F关于A′D对称，只要求出AB′即可。

（2）的思路二：过A′作A′M⊥B′E，得△A′ME和△A′M B′分别为含有45度和30度角的特殊直角三角形，通过计算证明B′E=EF，进而可得到B′与F关于A′D对称，只要求出A B′即可。

（1）②的思路一、思路二用到了数学中最常用的截长法，其中思路二用到了“角平分线+平行线”得到的隐含等腰三角形，（1）②的思路三用到了数学中最常用的补短法，（2）的思路一用到了角平分线、全等三角形等基本图形（模型），（2）的思路二用到了特殊直角三角形的基本图形（模型），并且所有的思路中都用到了角平分线、等腰三角形、等边三角形、直角三角形、等腰直角三角形、全等三角形等基本图形的判定和性质。通过对本题多种解法的分析不难发现，培养和提高初中生的几何解题能力要从以下几方面入手。

一、熟悉几何基本图形和基本结论是培养几何解题能力的前提

几何基本图形和基本结论是几何知识的重要组成部分，是所有几何解题的前提，角平分线、中线、高、点到直线的距离、动点到两定点距离之和的最小值、等腰三角形、等边三角形、直角三角形、等腰直角三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、垂径定理、过圆外一点作圆的切线、全等三角形、相似三角形等基本图形及其结论，既是考试考查的重点，又是所有解题的基本依据，我们要熟练掌握。

A.2 B.3 C.4 D.5

这些题目表面看起来很复杂，但实质都是考查几何基本图形及其结论。第一题考的是角平分线、平行四边形、等边三角形等图形的性质，第二题考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质以及正方形的性质。只要掌握相似三角形和全等三角形的基本图形和基本结论，问题不难解决。

二、理解定义、定理、公理、判定、性质是培養几何解题能力的基础

理解定义、定理、公理、判定、性质，不仅要熟记定义、定理、公理、判定、性质的结论，还要熟记定义、定理、公理、判定、性质的条件、适用范围、注意事项等，它是几何解题的基础。

本题中，不少考生因没有在意弧长公式中圆心角的意义，结果将120度直接代入计算，答案就错了。

三、善于发现图中的隐含图形是培养几何解题能力的关键

隐含图形是指等腰三角形、等边三角形、平行四边形等特殊图形在整个图形中表现出来的一部分，如“角平分线+平行线”隐含有等腰三角形，“中点+垂直”隐含有等腰三角形，“角平分线+等腰”隐含有垂直平分，三角形含有30度和45度角则隐含可构造特殊直角三角形等。解题时如果我们能充分发现这些隐含图形，非常有利于问题的分析和解决。

本题（2）的关键是 “角平分型全等三角形隐含着BD是等腰三角形的高”，从而想到连结AP并延长BD交AP于E，然后过P作PF⊥AC于F即可构造“双垂直型相似”，利用相似列比例式即可解决问题。

四、掌握基本的几何变换是培养几何解题能力的桥梁

几何变换是平面几何的重要内容之一，是研究几何关系的基本方法。平移、旋转、轴对称是初中几何的基本变换，熟练掌握这些变换是培养和提高几何解题能力的桥梁。

例4.（广西贵港2018-26）已知：A、B两点在直线l的同一侧，线段AO，BM均是直线l的垂线段，且BM在AO的右边，AO=2BM，将BM沿直线l向右平移，在平移过程中，始终保持∠ABP=90°不变，BP边与直线l相交于点P。

类似这些与面积有关的问题，都要用到割补法等数学基本方法.其中（1）还要注意到图中的隐含图形——等级边△AOD，才能求出有关的圆心角;（2）要分割成两个扇形和两个三角形面积的和与差;（3）用到的是非常典型的平行轴分割的方法以及二次函数最大值的模型。

六、掌握几何证明的常见分析方法是培养几何解题能力的重点

几何证明的分析方法很多，如综合法、分析法、反证法、枚举法（穷举法）、完全归纳法、不完全归纳法，但最常用的方法有综合法、分析法和分析综合法。熟练掌握这些常见的分析方法是我们探求解题途径的重点和关键。

分析法是从求证的结论入手，以公理、定理为根据，寻求所必须的条件，再从所需条件出发，一步一步地寻求到所需的条件为已知条件时，命题即得证，这种方法也叫“执果索因”法;而综合法是从已知条件为出发点，以公理、定理为依据，一步步推导出欲证的结论，这种方法也叫“由因导果”法;分析综合法将分析法和综合法结合起来，即先从结论入手看需要什么条件，再从已知出发看可导出什么结论，如果这两者正好一致，问题即可解决，这种方法也叫“两头凑”的方法，通常情况下我们都用这样的分析方法。如前面例3的（1）：

这个分析问题的方法就是分析综合法。

在培养学生几何解题能力的过程中，除了加强学生对几何基本图形和基本结论的熟悉，对几何定义、定理、公理、判定、性质的理解，引导学生善于发现图中的隐含图形，掌握好数学基本方法和基本的几何变换以及常见的分析方法外，还要学会对几何结论进行分类，掌握几何难题突破的一般程序等。如对几何结论，我们可以从线段平行、垂直、相等、不等以及角相等、不等等方面进行分类;而对几何难题的突破，可从完善图形（重新画图）、标识等量、发现隐含图形、挖掘图形关系（全等或相似）等方面入手。

下面通过两个具体例子来体会一下：

当然，我们强调对数学图形、数学结论、数学方法和几何变换的掌握，不是简单地把它们背下来就可以了，而是要在实际应用中理解、体会，学会举一反三、触类旁通，不断提高解题的能力。

作者简介：黄江泉，1965年11月出生，男，汉族，籍贯：广西桂平，大专学历，中学高级教师职称，特级教师。