拓扑空间中五类特殊点的比较

汪开云

【摘要】本文主要比较拓扑空间中的聚点、孤立点、内点、边界点以及外点，从孤立点的角度深入分析它们之间的区别与联系.针对实际教学过程中学生容易出现的三个误区，建议在一般拓扑学的教学过程中，教师不仅要引导学生厘清这五类特殊点的定义，还需要加强对孤立点的讲解，从而加深学生对孤立点的理解.

【关键词】拓扑空间;聚点;孤立点;内点

【基金项目】陕西师范大学教学改革研究项目（19GGKJG04）.

一、引 言

在一般拓扑学的教学内容里，聚点、孤立点、内点、边界点以及外点是拓扑空间中五类特殊的点.这五类点在数学分析、实变函数课程里也经常会遇到.在作者的实际教学过程中，有不少同学在学习一般拓扑学时，搞不清楚这五类点之间的区别与联系，从而造成理解误区，尤其是关于孤立点的理解.由于一般拓扑学本科生的教材涉及孤立点的内容较少，学生容易忽视这类点，因此，本文主要从孤立点的角度深入分析它们之间的区别与联系.

二、拓扑空间中的聚点与孤立点

设X是集合，AX.我们用（X）记X的幂集，即（X）表示X的所有子集构成的集族.用A′记A的补集.

定义1 设X是一个集合，τ（X）.若τ满足：

（1），X∈τ，

（2）若A，B∈τ，则A∩B∈τ，

（3）若τ1τ，则∪A∈τ1A∈τ，

则称τ是X的一个拓扑，称偶对（X，τ）是一个拓扑空间.

定义2 设（X，τ）是一个拓扑空间，称τ中的元素为拓扑空间（X，τ）中的开集;一个

开集的补集称为拓扑空间（X，τ）中的闭集.

例1 设X是一个集合，令τ=（X），则τ是X的一个拓扑，称为X的离散拓扑，称拓扑空间（X，τ）为离散空间.

定义3 设（X，τ）是一个拓扑空间，x∈X，UX.若存在一个开集V使得x∈VU，则称U是点x的一个邻域.

定义4 设（X，τ）是一個拓扑空间，AX.若点x∈X的每一个邻域U，有U∩（A-{x}）≠，则称点x是A的一个聚点.集合A的所有聚点之集称为A的导集，记作d（A）.A与d（A）的并A∪d（A）称为集合A的闭包，记作A-.若x∈A且x不是A的聚点，则称x为A的一个孤立点.集合A的所有孤立点之集记为i（A）.

注1 从定义4可以看出d（A）∩i（A）=且Ad（A）∪i（A），即A中的点要么是A的聚点，要么是A的孤立点.

命题1 设（X，τ）是一个拓扑空间，AX，则A-=A∪d（A）=d（A）∪i（A）.

下面我们用聚点和孤立点之间的关系来证明一般拓扑学中闭包的一个常用的等价刻画.

命题2 设（X，τ）是一个拓扑空间，AX，则x∈A-当且仅当对于x的任何一个邻域U，U∩A≠.

证明 必要性：由x∈A-，则x∈d（A）或者x∈i（A），所以对于x的任何一个邻域U，U∩A≠.

充分性：如果存在x的一个邻域U，U∩A={x}，则U∩（A-{x}）=，所以x∈i（A）.若对于x的任何一个邻域U，U∩A≠{x}，则U∩（A-{x}）≠，所以x∈d（A）.综上两种情形，则x∈d（A）∪i（A）=A-.

三、拓扑空间中的内点、边界点以及外点

定义5 设（X，τ）是一个拓扑空间，AX.若A是点x∈X中的一个邻域，则称点x是A的一个内点.集合A的所有内点构成的集合称为A的内部，记作AO.

误区1 在实际教学过程中，不少同学有内点一定是聚点，不是孤立点的误区.下面的例子说明了在一般情形下，内点不一定是聚点，可能是孤立点.

例2 设X是至少含有两个元素的集合.考虑离散空间（X，（X）），则对任意的x∈X，x是x的内点，但是xd（{x}），从而x∈i（{x}）.

注2 （1）从定义5和命题1可以得到AOAA-=d（A）∪i（A），即A的内点要么是A的聚点，要么是A的孤立点.

（2）从定义5和命题2容易验证AO=A′-′.

定义6 设（X，τ）是一个拓扑空间，AX.若点x∈X的每一个邻域U，有U∩A≠且U∩A′≠，则称点x是A的一个边界点.集合A的所有边界点构成的集合称为A的边界，记作（A）.

注3 从定义6和命题2可以得到AO∩（A）=且AO∪（A）=A-=d（A）∪i（A），即A的边界点要么是A的聚点，要么是A的孤立点.

误区2 在实际教学过程中，不少同学也有边界点一定是聚点，不是孤立点的误区.下面的例子说明了边界点可能是孤立点.

例3 设是实直线，令A=（-∞，-2）∪{0}，则0∈（A）.但是存在含0的开邻域（-1，1），使得（-1，1）∩（A-{0}）=，从而0∈i（A）.进一步，我们可以计算出d（A）=（-∞，-2]，i（A）={0}，AO=（-∞，-2）以及（A）={-2，0}.

定义7 设（X，τ）是一个拓扑空间，AX.若点x∈X是A′的内点，则称点x是A的一个外点.集合A的所有外点构成的集合称为A的外部，记作e（A）.

命题3 设（X，τ）是一个拓扑空间，AX，则e（A）∩A-=.

证明 假设e（A）∩A-≠，则存在x∈e（A）∩A-，所以x是A′的内点，即A′是x的邻域.由命题2，则A′∩A≠，矛盾，所以e（A）∩A-=.

定理 设（X，τ）是一个拓扑空间，AX，则

X=e（A）∪A-=e（A）∪d（A）∪i（A）=e（A）∪AO∪（A）.

证明 我们只需证明X=e（A）∪A-即可.显然e（A）∪A-X.由命题3知e（A）∩A-=.对任意的x∈X，若xA-，则存在x的一个邻域U，使得U∩A=.于是UA′，从而A′是x的邻域，即x∈e（A），所以X=e（A）∪A-.

注4 上面的定理说明拓扑空间（X，τ）中所有的点，对A来说可分为聚点，孤立点以及外点三种，还可分为内点，边界点以及外点三种.故可表示如下：

X中的点（对A来说）聚点，孤立点，外点，或内点，边界点，外点.

事实上，在一般拓扑学中，一个有趣的结果就是十四集定理，即对于任何拓扑空间中的任意一个子集，经过取补集、闭包、内部三种运算至多只能产生14个不同的集合，而上面的集合A在实直线中经过取补集、闭包、内部三种运算恰能产生14个不同的集合.由于AO=A′-′，所以对集合A，我们仅考虑取补集与闭包产生的14个不同的集合，它们分别如下：

四、子空间

定义8 设（X，τ）是一个拓扑空间，YX.Y的拓扑τ|Y={U∩Y|U∈τ}称为相对于拓扑τ而言的相对拓扑;拓扑空间（Y，τ|Y）称为拓扑空间（X，τ）的一个子空间.

為方便起见，从现在开始，我们设Y是拓扑空间（X，τ）的一个子空间，AY.另外，在表示A在不同拓扑空间的孤立点之集（闭包、导集、内部、边界）时，我们会在相应符号的下角标处标上拓扑空间加以区别，例如，我们用iX（A），iY（A）分别表示A在X与Y中的孤立点之集.

注5 易见，iY（A）=iX（A），进而我们有dY（A）=dX（A）∩Y与A-Y=A-X∩Y.

误区3 在实际教学过程中，一些同学有AOY=AOX的误区.下面的例子说明了在一般情形下，AOY≠AOX.

五、结 语

从学生容易出现的三个误区可以看出，厘清拓扑空间中这五类特殊点的定义至关重要，尤其孤立点是容易造成理解误区的关键.实际上，在一些数学研究方向中，如分析、数理逻辑、集论拓扑以及Ramsey理论等，孤立点都扮演着至关重要的角色.例如，Cantor集是实直线R的完备集，即没有孤立点的闭集.在Ramsey理论中，对于实直线R的完备集，Blass证明的划分定理，解决了Galvin提出的著名猜想.因此，建议教师在一般拓扑学的教学过程中，不仅要引导学生厘清这五类特殊点的定义，还需要加强对孤立点的讲解，从而加深学生对孤立点的理解.

【参考文献】

[1]华东师范大学数学系.数学分析（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2]程其襄，等.实变函数与泛函分析基础（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2003.

[3]熊金城.点集拓扑讲义（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2011.

[4]程吉树，陈水利.点集拓扑学[M].北京：科学出版社，2008.