基于LSSVM和NSGA-Ⅱ混凝土耐久性多目标配合比优化

吴贤国， 陈 彬， 刘 琼, *， 邓婷婷， 陈虹宇， 王 雷

(1. 华中科技大学土木工程与力学学院， 湖北 武汉 430074；2. 新加坡南洋理工大学土木工程与环境学院， 新加坡 639798)

0 引言

混凝土耐久性是决定混凝土使用寿命的主要因素，近年来，在实际工程中因为混凝土耐久性不足而导致结构破坏的事件屡屡发生，带来了巨大的生命财产损失。

混凝土耐久性与原材料配合比紧密相关，已有学者对于混凝土耐久性及原材料配合比优化展开了较为广泛的研究。毕继红等[1]通过试验研究以及工程实际验证, 在满足施工对混凝土耐久性要求的前提下，对混凝土的配合比进行优化, 以满足设计与施工的要求。王飞等[2]以3种不同水胶比和矿物掺合料掺量为变量，通过试验研究混凝土抗氯离子扩散、抗渗、抗碳化性能的变化。朱亚鹏等[3]从物理力学性能及耐久性能2方面出发, 以强度、渗透性等为衡量标准, 研究了粉煤灰及矿渣在混凝土中的作用及其机制。哈娜[4]利用数学模型，采用梯形模糊数确定指标权重，优化混凝土配合比。李肖[5]通过功效函数法优化混凝土的成本系数和功能系数，筛选出耐久性最佳的配合比方案。蒋正武等[6]提出客观权重赋予-灰色关联度分析方法，实现了基于多目标性能需求的C50混凝土配合比优化设计。郭寅川等[7]通过正交试验，重点研究了水胶比、粉煤灰掺量、用水量和引气剂掺量等因素对桥梁混凝土抗氯离子渗透性的影响规律。Xu等[8]从预制混凝土的角度出发，通过正交试验对钢渣基无熟料预制混凝土配合比进行了优化。

然而，上述研究大多都是采用试验研究、数学建模和正交试验等传统方法，限制条件较多。随着智能算法的不断普及，Zhang等[9]利用MOO模型成功得到了高性能混凝土双目标配合比优化问题和塑性混凝土三目标配合比优化问题的Pareto前沿。韩斌等[10]为了实现对湿喷混凝土强度的高精度预测及其配合比的智能精细化选择，建立了一种新型的ANN-PSO-GA模型，使配合比寻优工作变得更加智能化、精准化。

为了实现快速准确地确定配合比优化方案，本文提出一种LSSVM-NSGA-Ⅱ多目标优化智能算法进行配合比优化。首先，以抗冻性(动弹性模量)和抗渗性(氯离子渗透系数)作为耐久性评价指标，基于原材料及配合比采用LSSVM模型对混凝土配合比与耐久性指标样本数据进行训练学习，获得混凝土耐久性和配合比之间的高精度非线性预测关系；然后，将2个指标的预测回归函数作为NSGA-Ⅱ算法的适应度函数，通过寻优得到Pareto前沿解集，确定了同时满足混凝土抗冻性和抗渗性能的混凝土配合比参数组合；最后，通过理想点法选择最优混凝土配合比方案。

1 理论基础

1.1 最小二乘支持向量机原理

支持向量机(SVM)是一种基于统计学习理论的机器学习方法，可以很好地解决非线性问题，具有全局性并适用于小样本研究[11]。最小二乘支持向量机(LSSVM)采用最小二乘线性系统作为损失函数对传统SVM进行改进，将优化问题的不等式约束转化为等式约束，从而提高SVM算法的性能[12]。

假设训练样本集为(xi,yi)，xi∈Rn,yi∈{-1,1},i=1,2,...，n。其中xi为样本的输入，yi为样本的输出，n为训练样本的总数。

最小二乘支持向量机用函数式(1)代替了SVM的成本函数。

(1)

式中：w为权重；γ和ei分别为LSSVM的惩罚参数和误差变量。

成本函数的约束条件是：

yi=wTφ(xi)+b+ei。

(2)

式中：φ(x)为映射关系；b为偏差。

拉格朗日形式表示如下：

(3)

拉格朗日乘子用αi表示。该方程通过导数等于0来求解，可以得到以下方程组：

(4)

求解上述方程组可以得到LSSVM参数(αi、ei、w、b)。通常实际的训练样本数据不能满足严格的线性可分条件，LSSVM和SVM算法一样，通过引入核函数将训练样本数据从原始空间映射到高维特征空间中，使样本在这个空间中进行线性处理。本文采用高斯核函数当作预测模型的核函数进行研究。

1.2 NSGA-Ⅱ算法原理

与单目标优化问题只提供一个最优解不同，多目标优化问题将提供一组点(称为Pareto最优集)，表示冲突目标之间的权衡解。为了获得Pareto最优解提出了许多方法，其中Deb等[13]2002年提出的带精英策略的非支配排序遗传算法(NSGA-Ⅱ)是解决多目标优化问题最有力的方法之一。在过去的10年中，NSGA-Ⅱ得到了改进，并广泛应用于各种问题的设计优化。NSGA-Ⅱ算法的操作步骤如下：

1)生成大小为N的初始种群P0。

2)使用基于拥挤比较算子的二元竞赛选择、对父种群Pt执行交叉和变异创建的子种群Qt，其中下标t表示代数。然后将子代群体和它的父代群体结合起来产生整个群体Rt。

3)对整个群体Rt进行快速非支配排序，以识别目标函数F1、F2的不同非支配前沿。

4)从获得的前沿Fi创建一个新的N大小亲本种群Pt+1。

5)重复该过程，直到达到最大迭代次数。

2 混凝土耐久性配合比优化模型构建

现实生活中，混凝土配合材料和耐久性之间是高度非线性的关系，由于最小二乘支持向量机(LSSVM)可以较好地学习输入和输出之间的非线性关系且具有较好的泛化能力，利用最小支持向量机模型替代具体的函数是一个较好的解决思路。把支持向量机模型替代传统的数学函数作为多目标遗传算法中的适应度函数，提出一种将LSSVM算法和NSGA-Ⅱ算法相结合的多目标优化方法，为传统的多目标遗传算法优化方法在工程中的实际应用开拓了一种新的途径。LSSVM-NSGA-Ⅱ多目标优化流程如图1所示。

图1 LSSVM-NSGA-Ⅱ多目标优化流程图

2.1 基于LSSVM混凝土耐久性预测

2.1.1 数据归一化处理

不同混凝土配合比指标之间具有不同的量纲，样本中一些数据过大或过小会增加训练过程中算法的负担，导致数据被淹没或网络不收敛[14]，因此，需要对配合比数据进行归一化处理。数据归一化可以使所输入数据处于一定区间内，如[0,1]、[-1,1]等，消除了不同样本特征值维数对预测效率和精度的影响。本文选择把样本输入数据归一化到区间[-1,1]，实现数据归一化、统一变量维度，使得每个特征在预测过程中起到效果。

2.1.2 核函数选择

为了处理训练集的非线性关系，有必要引入核函数将低维映射到高维，从而把非线性问题转换为线性问题，使用线性支持向量机方法来处理非线性问题。在不同预测模型中，应根据研究特点选择合适的核函数。高斯核函数在具有径向基核函数优势的同时，还具有良好的抗干扰能力，是最常用的核函数[15]。本文将采用高斯核函数当作预测模型的核函数进行研究，如式(5)所示：

(5)

式中：σ2为宽度参数；x为输出变量。

2.1.3 参数优选

LSSVM参数的选择决定了模型预测的精度，本文选择高斯核函数作为LSSVM算法核函数，高斯核函数的宽度参数σ2和惩罚系数γ都对LSSVM的预测效果有一定影响。为了保证LSSVM模型的泛化性能，选择正确的参数非常重要。

网格搜索法是一种全局搜索法，其将各个参数所有可能的组合结果列出并生成网格，然后高效地通过搜寻网格中所有结果来确定最优解[16]。K折交叉验证(K-CV)常用于支持向量机模型性能的验证，它将原始样本集分为K个样本子集，其中随机选取1个样本用来测试，剩余K-1个样本用来训练，交叉验证重复K次，可以避免欠学习状态或过学习状态。本文采用网格搜索结合K-CV交叉验证法来确定LSSVM模型参数γ和σ2，主要算法步骤如下：

1)设置网格搜索参数σ2和γ的初始范围。根据经验将参数σ2和γ的取值范围设置在[2-8,28]。

2)用σ2和γ构造二维平面。

3)结合5折交叉验证法，选择σ2和γ的最佳组合。如果存在多个最优组合，则选择γ值最小的组合。

4)根据初步解，重置搜索参数的范围，构造二维平面。

5)重复步骤3。

6)输出最终的最优参数。

2.1.4 回归预测结果评价

通过评估指标的确定可以计算预测误差，从而揭示模型的准确性。本文选择均方误差(MSE)和决定系数(R2)来评估预测性能。2个指标的计算公式如下：

(6)

(7)

式(6)-(7)中：yobs为数据集观测数据；ypred为LSSVM预测值；n为数据总数。

由于预测误差的显著放大，MSE是一个误差指标，有助于评估峰值的预测准确性。具有较高R2值和较低MSE值的模型性能更好。通常，较高的R2值可能与较小的MSE值一致。

2.2 基于NSGA-Ⅱ多目标优化

本文采用水胶比，砂率，水泥、粉煤灰、细集料、粗集料、减水剂及引气剂的用量8个因素作为多目标遗传算法的输入变量，分别用x1、x2、x3、x4、x5、x6、x7、x8表示这8个变量，优化的目标是得到满足抗冻和抗渗耐久性条件下混凝土的最优配合比。

2.2.1 基于LSSVM适应度函数构建

在NSGA-Ⅱ算法中，总共设定有2个目标函数。第1个目标函数是基于LSSVM的混凝土抗冻耐久性输出相对动弹性模量的函数；为了保证混凝土拥有足够抗冻耐久性，根据试验经验，设定混凝土经过300次冻融循环后相对动弹性模量在85%以上。第2个是基于LSSVM的混凝土抗渗耐久性输出氯离子渗透系数的函数； 为了满足混凝土抗渗性耐久性良好，设定28 d氯离子渗透系数在3.5×10-8cm2/s以下。

通过引入LSSVM，用回归预测算法替代传统数学函数作为多目标遗传算法中的目标函数，可以很好地解决输入变量与输出目标之间存在复杂非线性关系和无法给出具体函数表达式的问题。

基于支持向量机的回归函数为：

(8)

相对动弹性模量目标函数f1可以表示为：

(9)

氯离子渗透系数目标函数f2可以表示为：

(10)

2.2.2 指标限制范围

为了使得生成的方案更加合理可行，需要对方案生成时的各个因素设定限制范围，形成变量的约束条件，约束条件的一般形式如下：

bil

(11)

式中bil和biu分别为第i个输入变量的下限和上限。

2.2.3 NSGA-Ⅱ算法实现

本文应用NSGA-Ⅱ算法进行混凝土配合比参数的多目标优化，以确定同时满足混凝土抗渗性和抗冻性最优配合比参数Pareto最优解集。NSGA-Ⅱ算法首先随机生成一个种群数量为N的初始种群，在进行非支配排序后通过遗传算法的选择、交叉、变异3个基本操作生成第1代子代种群。从第2代开始,将父代种群与子代种群合并，进行快速非支配排序，同时对每个非支配层中的个体进行拥挤度计算，根据非支配关系以及个体的拥挤度选取合适的个体组成新的父代种群。通过遗传算法的基本操作产生新的子代种群，依此类推，当子代种群数达到最大子代数时，即满足算法结束的条件，输出Pareto最优解集。

2.2.4 最优配合比选取

NSGA-Ⅱ算法获取的Pareto最优解集并不是唯一的解，而是由一组符合Pareto最优状态决策变量的解，在进行混凝土耐久性配合比优化时，需要获得理想的最优解，因此，本文采用理想点法从最优解集中获得一个折衷解。理想点是指利用各个目标对用最优值所对应的最优值组成的对应点E(ηEpoint,ZEpoint)。找出对应的平衡点之后，计算Pareto最优解图中各个最优解到理想点之间的距离，计算公式为：

(12)

式中： (ηPareto,ZPareto)为最优Pareto前沿点对应的坐标；(ηEpoint,ZEpoint)为理想点对应的坐标。

通过计算距离函数(见式(13))可知，最优点是距理想点最小距离的点，因此，利用理想点法可从Pareto前沿解集中确定使得多目标函数达到最优的一组最优解。

Uopt=min(Un)。

(13)

3 实例分析

本研究基于实验室正交试验结合吉林省某隧道建设项目中获取的C40混凝土试验样本数据对混凝土耐久性配合比进行优化。该项目属于高寒高盐碱地区，对混凝土耐久性要求高。在进行混凝土配置时选用吉林亚泰天鹅牌P·O 42.5水泥，国电双辽Ⅰ级粉煤灰，前旗高尔夫砂厂生产的河砂和玻璃山碎石，武港公司聚羧酸高性能减水剂以及日本东邦引气剂。

3.1 基于LSSVM混凝土耐久性预测

3.1.1 样本数据获取与预处理

本文从抗冻性和抗渗性2个方面分析混凝土耐久性。选取评估混凝土抗冻性的输出指标为相对动弹性模量，评估混凝土抗渗性的输出指标为氯离子渗透系数。结合规范及工程项目的要求选取水胶比，砂率，水泥、粉煤灰、细集料、粗集料、减水剂及引气剂的用量8个输入特征指标。通过现场加速试验，一共收集71组样本数据，混凝土耐久性试验所得数据样本的信息见表1。随机抽取其中56组样本构成训练集，剩下的15组样本作为测试集，并对输入和输出特征指标进行归一化处理，归一化到区间[-1,1]，避免淹没输入向量的特征。

表1 耐久性试验数据样本信息

3.1.2 模型参数优化

LSSVM预测模型中的重要参数决定了模型预测效果的优劣。本文采用网格搜索法结合5折交叉验证分别对抗冻性和抗渗性的LSSVM预测模型的宽度参数σ2和惩罚系数C进行优化，参数优化的结果如图2-3所示。

由图2可知，惩罚系数C的最优值为1，核函数参数σ2的最优值为0.329 88，此时在5-CV验证后的均方误差值CVMSE最小为0.000 525 5。

由图3可知，惩罚系数C的最优值为1.741 1，核函数参数σ2的最优值等于0.189 46，此时5-CV验证后的均方误差值CVMSE最小为0.023 023。

3.1.3 预测结果分析

氯离子渗透系数模型训练集和测试集预测结果分别如图4和图5所示。相对动弹性模量模型训练集和测试集预测结果分别如图6和图7所示。

图2 抗冻性参数优化3D视图

图3 抗渗性参数优化3D视图

图4 氯离子渗透系数模型训练集预测结果

图5 氯离子渗透系数模型测试集预测结果

由图4和图5可知，LSSVM预测模型能够很好地反映原料配合比和氯离子渗透系数之间的非线性关系。由图4可知，LSSVM对训练集进行训练后，可以准确表达输入与输出之间的决策规律，模型拟合结果很好，其预测值与实际值之间误差非常小。图5为训练后的LSSVM模型对测试集样本的真实值与预测值的比较，可以清楚地看出，建立的混凝土抗渗性LSSVM预测模型对测试集样本的预测值与试验值吻合得非常好。经计算，训练集中实际值与预测值之间的均方误差MSE为0.003 493 4，决定系数为0.983 29；测试集中实际值与预测值之间的均方误差为0.011 768，决定系数为0.952 91。MSE越接近于0，决定系数越接近于1，表示预测效果越好，可以说明LSSVM构建的非线性模型对混凝土抗渗性预测具有良好的效果且具有较好的泛化能力。

同理，由图6和图7可知，LSSVM预测模型能够很好地预测相对动弹性模量。LSSVM预测模型对测试集样本的预测值与试验值吻合得非常好。训练集中实际值与预测值之间的均方误差MSE为0.004 995 5，决定系数为0.972 76；测试集中实际值与预测值之间的均方误差为0.008 495 1，决定系数为0.974 94，可以说明该模型对混凝土抗冻性预测也具有良好的效果。

3.2 基于NSGA-Ⅱ混凝土耐久性配合比优化

3.2.1 建立目标函数

混凝土的抗冻性将用相对动弹性模量来衡量，根据式(8)可得混凝土抗冻性目标函数：

f1[svm(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8)]>85%。

混凝土的抗渗性将用氯离子渗透系数来衡量，根据式(9)可得混凝土抗渗性目标函数：

f2[svm(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8)]<3.5×10-8cm2/s。

3.2.2 配合比优化约束条件

在进行高强性能混凝土配制时，需要遵循如下原则。首先要对原材料做出合理的选择，本文选择P·O 42.5的水泥，加入适量的粉煤灰等掺合料，可以对混凝土的强度、耐久性等性能有一定的改善作用，加入高效减水剂，可以增强混凝土和易性，选择密实的石灰岩碎石等作为混凝土的粗骨料。其次根据规范以及工程实际等要求确定合理的配合比参数取值范围，作为配合比优化的约束条件，具体表示为：

图6 相对动弹性模量模型训练集预测结果

图7 相对动弹性模量模型测试集预测结果

(14)

式中：fcu,0为混凝土的施工配制强度；fcu,k为设计的混凝土立方体抗压强度标准值；σ为施工单位的混凝土强度标准差，表示混凝土立方体抗压强度标准值。

水胶比范围为0.3～0.5，砂率范围设置在37%～45%，胶凝材料用量不应小于320 kg/m3，水泥用量在280～430 kg/m3，粗集料用量在1 100～1 215 kg/m3，粉煤灰用量在60～100 kg/m3，外加剂的含量设置范围在 0.45%～1.35%。最后还要控制好施工工艺。

3.2.3 基于NSGA-Ⅱ多目标优化

针对采用的NSGA-Ⅱ算法，以氯离子渗透系数和相对动弹性模量为2个优化目标，将种群类型设为双向量，采用NSGA-Ⅱ算法自适应变异特点可以增加遗传算法的多样性，使遗传算法的搜索空间更广阔。通过随机遍历抽样进行选择，使用单点交叉算子进行交叉操作，且交叉概率设置为0.7；通过设定某一概率随机选择变异的特征信息进行变异操作，设定变异概率为0.01；初始种群大小设置为40；最大遗传代数设为60。考虑使得混凝土拥有较好的抗冻和抗渗耐久性，通过多目标遗传算法配合比全局寻优，更新迭代60次后得到最优配比组合Pareto前沿，如图8所示。

图8 Pareto前沿图

图8示出了遗传算法在计算了2 400次目标函数值之后得到的Pareto前沿在目标空间中的象点，可以看出Pareto前沿分布均匀，随着氯离子渗透系数的降低，相对动弹性模量逐渐减小。氯离子渗透系数最小可达到2.36 m2/s，此时对应的相对动弹性模量分别为88.0%；相对动弹性模量最大可达到96.6%，此时对应的氯离子渗透系数为4.28 m2/s；这说明氯离子渗透系数与相对动弹性模量相互矛盾。从图中最优Pareto前沿的左端移动到右端的过程中，NSGA-Ⅱ 算法非支配解决方案从氯离子渗透系数最优方案移动到相对动弹性模量最优方案。在最优Pareto前沿中，NSGA-Ⅱ 算法所得到的最优解不存在唯一性。

3.2.4 最优Pareto选择

为了获得最优解，一般采用理想点法来确定，如图9所示，氯离子渗透系数与相对动弹性模量所对应的最优值构成的理想点坐标为E(2.36,88.00)。得到理想点后，将最优Pareto前沿中的40个点代入理想点公式，最终可得混凝土耐久性多目标优化最优解，具体如图10所示。

图9 最优值理想点坐标

图10 Pareto前沿图最优值

由图10可知，通过理想点法对最优Pareto前沿进行优化后发现P点到理想点的距离最小，则P(3.12,93.4)即氯离子渗透系数为3.12×10-8cm2/s，相对动弹性模量为93.40%时多目标优化获得最优解。此时对应的水胶比为0.36、砂率为37.42%、水泥用量为355 kg/m3、粉煤灰用量为65.47 kg/m3、细集料用量为770.81 kg/m3、粗集料用量为1 147.08 kg/m3、减水剂用量为3.75 kg/m3、引气剂用量为0.63%。

为了验证LSSVM-NSGA-Ⅱ算法对混凝土耐久性多目标优化模型的准确性，本研究将混凝土优化配合比下的预测值与试验值进行对比分析见表2。

表2 混凝土抗冻性和抗渗性的优化值与试验值对比表

由表2可知，混凝土优化配合比下的氯离子渗透系数和相对动弹性模量的算法预测值和试验值的差距很小，其中氯离子渗透系数的预测值和试验值相差1.83%，相对动弹性模量的预测值和试验值相差0.82%，且混凝土强度和工作性能等均符合要求，从而证明了基于LSSVM-NSGA-Ⅱ对混凝土耐久性进行多目标优化的可靠性和高精准性。

4 结论与讨论

1)本文建立了一种基于LSSVM-NSGA-Ⅱ多目标优化模型，该模型首先基于原材料及配合比利用LSSVM对混凝土耐久性主要指标相对动弹性模量和氯离子渗透系数实现高精度预测，并将以上混凝土耐久性指标的预测回归函数作为适应度函数，结合规范及工程项目的要求建立原材料及配合比相关的约束条件，利用NSGA-Ⅱ算法进行多目标优化，得到耐久性混凝土最优配合比。

2)选取水胶比，砂率，水泥、粉煤灰、细集料、粗集料、减水剂及引气剂的用量8个因素为最优输入变量集，构建了基于LSSVM预测混凝土抗冻性和抗渗性模型，结果表明采用LSSVM算法对混凝土抗冻性和抗渗性进行预测的精度很高，采用LSSVM模型对混凝土耐久性进行预测是可行有效的。

3)结合项目实际条件，为了实现耐久性混凝土配合比优化，将混凝土抗冻性和抗渗性预测LSSVM函数作为适应度函数，进行NSGA-Ⅱ多目标优化后，相对动弹性模量和氯离子渗透系数分别为93.4%、3.12×10-8cm2/s时得到混凝土抗冻和抗渗性优良的配合比组成，结果表明，该模型目标优化结果与工程实际相符，该方法是一种智能、精确、高效的配合比优化方法，在工程生产中具有非常好的应用价值，对工程实践具有一定的指导作用。然而，本研究所获配合比数据样本量较少，未来可考虑提高数据精度，获得更多数据，提高预测优化效果，并考虑更多因素下的配合比优化设计。