灵活选用二次函数表达式

2021-01-07 06:08文刘丹

文刘丹

二次函数是中考的热点内容，其中用待定系数法确定二次函数的表达式也是我们必须掌握的方法。我们在求二次函数的表达式时，应根据题目给出的条件，灵活地选用不同的方法。

用待定系数法确定二次函数表达式的步骤：1.根据题目条件设出合适的函数表达式；2.把已知条件代入函数表达式；3.解方程（组）求出待定系数的值，从而写出函数表达式。下面举例说明，希望对同学们有帮助。

（下文中提到的a、b、c、h、k、x1、x2均为常数，a≠0）

一、利用y=ax2求二次函数表达式

当抛物线的顶点在原点时，通常选用y=ax2设表达式。

例1已知抛物线的顶点在原点，且点A（2，8）在抛物线上，求该抛物线的函数表达式。

解：设函数表达式为y=ax2，把A（2，8）代入，解得a=2，所以抛物线的表达式为y=2x2。

【总结】因为抛物线的顶点在原点，所以设抛物线的表达式为y=ax2，然后将已知的点坐标代入表达式即可求出a的值。

已知抛物线的顶点在y 轴上或是以y 轴为对称轴时，可设函数表达式为y=ax2+k。

例2已知：抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为y轴，且过点A（0，-3）、B（2，0），求该抛物线的表达式。

解：由题可设抛物线的表达式为y=ax2-3，将B（2，0）代入表达式，得4a-3=0，可得a=则抛物线的表达式为

【总结】由于抛物线的对称轴为y 轴，且过点A（0，-3），所以抛物线的顶点坐标为（0，-3），于是设抛物线的表达式为y=ax2-3，然后将B（2，0）代入求解即可。

如果二次函数的图像顶点在x 轴上或最大（小）值为零时，可设它的表达式为y=a（xh）2，其顶点坐标为（h，0）。

例3如图1，已知二次函数图像顶点在x轴上，对称轴为直线x=-2，且A（1，3）在函数图像上，求它的表达式。

解：由题可设抛物线的表达式为y=a（x+2）2，将A（1，3）代入，得a（1+2）2=3，解得所以抛物线的表达式为

【总结】因为抛物线图像顶点在x 轴上，对称轴为x=-2，所以顶点坐标为（-2，0），由此可设抛物线的表达式为y=a（x+2）2，然后将点A（1，3）代入即可求出表达式。

已知抛物线图像的顶点坐标为（h，k），一般可设抛物线表达式为y=a（x-h）2+k，然后根据其他条件确定a 的值。已知抛物线的对称轴，即顶点的横坐标；或已知抛物线的最大（小）值，即抛物线的最高（低）点的纵坐标，也可用此形式求二次函数的表达式。

例4已知二次函数图像对称轴为直线x=-1，且最大值为-3，同时图像与y 轴的交点坐标为（0，-5），求该函数的表达式。

解：由题可设二次函数的表达式为y=a（x+1）2-3，将（0，-5）代入得a=-2，从而得抛物线的表达式为y=-2（x+1）2-3，即y=-2x2-4x-5。

【总结】若已知条件是图像的顶点坐标或对称轴方程与最大（小）值，可设抛物线表达式为y=a（x-h）2+k，再将已知条件代入，求出待定的系数。

已知抛物线与x 轴的交点的横坐标时，通常设表达式为交点式，即y=a（x-x1）（x-x2）。

例5如图2，在直角坐标系中，点A、B、C三点的坐标分别为（-1，0）、（3，0）、（0，3）。

（1）求过A、B、C三点的抛物线表达式；

（2）求出抛物线的对称轴和顶点坐标。

解：（1）设抛物线的表达式为y=a（x+1）（x-3），将（0，3）代入得3=a（0+1）（0-3），解得a=-1，∴抛物线的表达式为y=-（x+1）（x-3），即y=-x2+2x+3。

（2）∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，

∴对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，4）。

【总结】当已知抛物线与x 轴的两个交点坐标，且知道图像上的另一个坐标时，通常设交点式y=a（x-x1）（x-x2）来求这个二次函数表达式。

当已知二次函数图像上任意三点时，可设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c，然后将三点坐标分别代入求出待定系数。一般来说，此方法计算比较繁琐，只有当三点坐标不符合以上几种情况时才使用。

例6已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：

x y……-1 0 0 1 2 3-5-8-9-8……

求此二次函数表达式。

解：设二次函数表达式为y=ax2+bx+c，

∴二次函数表达式为y=x2-4x-5。

【总结】实际上根据表中的情况，我们还可以利用“顶点式”或“交点式”求解。有兴趣的同学可以尝试一下。