非平衡单向分类模型中方差分量的Stein型区间估计*

党晓晶，孙同贺

(内蒙古科技大学 矿业与煤炭学院，内蒙古 包头 014010)

常用的σ2的区间估计也只是以为统计量，没有考虑统计量样本方差.TATE和KLETT[2]以样本方差S2为统计量，导出了总体方差σ2的置信度为1-α，而且具有最短长度的置信区间：

求解方程组：

IS(Z2，S2)=[φ(Z2)S2，(φ(Z2)+l)S2] .

非平衡的方差分量模型在实际应用中更加广泛，将Stein思想推广到非平衡的方差分量模型中意义重大.

1 模型

将研究非平衡单向分类模型.

yij=μ+αi+eij，i=1，2，…，a，j=1，2，…，ni.

y={1N}μ+diag{1n1，1n2，…，1na}α+e.

E(y)={1N}μ，

即y～N(μ(1N)，∑).

表1 非平衡单向分类模型的方差分析表

其中：

2 统计量USS

许多学者将统计量未加权的平方和USS引入到非平衡模型的研究中.THOMAS和HULTQUIST[7]利用对角化的方法构造了该统计量.文中指出USS与SSe独立而且近似服从χ2分布.KHURI[8]在非平衡有交互效应的两向分类随机效应模型中也研究了USS的构造问题.本节以一种简洁的方法研究了非平衡单向分类模型中USS的构造及其相应的性质.

它的期望和协方差阵为：

显然：

P11a=0.

则：

易求得其期望和协方差阵为：

E(zα)=0 ，

证明：待定的c应当使‖L-cIa-1‖取得最小值，亦即求‖L-cIa-1‖2的最小值.

令：

f(c)=‖L-cIa-1‖2，

将上式进行化简得：

f(c)=‖L-cIa-1‖2

=0 .

对求导数并令其为零，即：

解方程得：

证明：令

由于

即：

又因为

E(za)=0 ，

tr(Ia-1)=a-1 ，

因为

所以根据多元正态分布的性质可知统计量USS和统计量SSe是相互独立的.

将用涉及到下述统计量：

上述3个统计量相互独立，而且它们的分布情况如下：

3 方差分量的Stein型区间估计

3.1 方差分量的Stein型置信区间

以统计量SSe为基础，MOLISKI[9]导出了的置信度为1-α长度最短的置信区间：

求解方程组

可得系数ae，be.

取得最大值.

3.2 方差分量的Stein型区间估计

求解方程组

可得系数aα，bα.

定理2：τ2的置信度至少为1-α的Stein型置信区间为：

证明过程与定理3.1相似，故不赘述.

Imin(SSe，USS)=

4 实例分析

WILLIAM， SEARLE[11](1978)测量了1组数据，见表2.这5组数据来自1条生产线上5种不同菜油的质量.显然，例中的组间误差要远大于观测误差，适合采用统计量USS.

表2 菜油的质量指数表