扁担挑物的动力学分析

刘荣梅

(南京航空航天大学航空学院，南京210016)

扁担，作为一种传统而简单的搬运货物的工具，即使在今天，仍然在许多农村和交通不便的地方，特别是田间地头，发挥着重要的作用。一根看似简单的扁担，包含了悬臂梁、等强度梁、固有频率、强迫振动、振动耦合等若干力学概念。张义同等[1]通过对扁担的力学行为的研究，揭示了扁担优良的传递载荷的性能。尤明庆[2]研究了人行走时肩部垂直激励和水平激励引起的重物振动，当扁担-重物系统的固有频率大于人行走的频率时，可以使移步时肩部载荷小于重物。邱信明[3]从扁担负重的静力学特点、挑担行走过程的受迫振动以及扁担的结构形状和材料等方面分析了扁担是否省力的问题。许宇宁等[4]建立了具有躯干的扁担负重模型，分析了相关参数对负重行走腰部力矩的影响。人挑担行走时，肩部承受的铅垂载荷由静载荷(即重物重力)和铅垂附加动载荷组成，扁担的主要作用就是产生周期性变化的铅垂附加动载荷，当铅垂附加动载荷的峰谷处于移步阶段、峰顶处于双腿支撑阶段且铅垂附加动载荷达到一定值时，有利于人的行走，反之则不利于人的行走。

本文首先建立了扁担挑物的动力学模型，得到了扁担挑物的动力学方程，分析了人挑担行走时肩部的运动。通过数值计算，给出了重物类似于单摆的振动频率、挑运者的步行频率和扁担-重物系统铅垂方向的振动频率三者之间的协调关系，即当人步行的频率为扁担-重物系统铅垂方向固有频率的 70%～80%时，肩部铅垂附加动反力为重物重力的30%左右且与肩部铅垂运动同相，当重物类似于单摆的振动频率为人步行频率的 25%～30%时，重物的摆角和肩部受到的水平附加动反力均较小，这些都有利于人挑担行走。

1 扁担挑物的动力学模型

扁担挑物时，扁担的中部搁置在人的肩部O点上，人在挑担行走时肩部既有前后的运动x0，也有上下的运动y0，如图1所示。如果不考虑扁担绕肩部O点的转动，可以只对其中的一半(如右半部分)进行研究，这时扁担可以简化为根部既有前后运动x0、也有上下运动y0的悬臂梁。由于扁担弯曲变形，扁担的端点相对肩部有上下的振动，同时重物还会绕扁担的端点摆动。

图1 扁担－重物系统

考虑扁担的等效刚度系数为k，等效黏性阻尼系数为c，则扁担挑物的力学模型如图2所示，其中A点相对于O点只有铅垂方向的运动，没有水平方向的运动。

图2 扁担挑物的力学模型

以整个系统的静平衡位置为坐标原点，A点铅垂方向的位移y和重物B绕A点的转角θ为广义坐标，根据理论力学[5]可以得到系统的动力学方程为

式中，m为重物的质量，l为重物质心C到A点的距离 (即悬绳长度)，JC为重物绕质心C轴的转动惯量，c′为重物绕A点摆动的等效黏性阻尼系数。

人行走时肩部铅垂方向的运动可写为[2]

式中，δ为肩部上下运动的幅度，ω为人步行的圆频率，人挑担时步行的频率f约为 1.5～2 Hz，由ω=2πf知人步行的圆频率约为9～13 rad/s。人步行时双腿轮流支撑和摆动，双腿支撑时肩部处于较低位置，而移步时肩部处于较高位置。

根据文献[2]，人行走时由于双脚交替向前，肩部水平方向的运动可表示为

式中，v0为人前进的平均速度，η为肩部前后运动的振幅，ωP为人步行圆频率的一半，即ωP=ω/2。

人挑担时肩部承受的附加动反力的水平分量和铅垂分量分别为

如果考虑到前后两个重物的话，肩部实际承受的附加动反力是上述结果的2倍。

2 扁担挑物的动力学数值计算

设扁担的长度为 2L=1.5 m，制作扁担木材的弹性模量E=10 GPa，扁担中部的横截面宽度b0=80 mm、厚度h0=30 mm。假设扁担的宽度保持不变，厚度按等强度梁设计，根据材料力学[6]可以算得其端部在单位载荷作用下的挠度为(恰好等于等截面时的2倍)，因此其刚度系数为

再假设m=30 kg，JC=0.8 kg·m2，l=0.8 m，c=40 N·s/m，c′=10 N·m·rad/s，δ=0.01 m，η=0.01 m，分析肩部受到的附加动反力如下。

图3 肩部受到的铅垂附加动反力Fy和垂向运动y0

2.1 肩部铅垂附加动反力

设人步行的频率分别为1.8 Hz，2.1 Hz，2.5 Hz和 2.8 Hz，数值求解方程(1)，(2)和 (6)，得到稳定时肩部承受的铅垂附加动反力Fy，如图3中的实线所示，图3中的虚线表示肩部铅垂方向的运动y0。

肩部实际承受的铅垂压力为mg-Fy。由图3(a)可见，肩部铅垂附加动反力Fy约为重物重力的30%，并与肩部铅垂运动y0同相，因此移步时肩部承受的铅垂压力最小，约为重物重力的70%，而双腿支撑时肩部承受的铅垂压力最大，约为重物重力的130%，这是有利于人挑担行走的[2]。图 3(d)正好与此相反，肩部铅垂附加动反力Fy和肩部铅垂运动y0反相，移步时肩部承受的铅垂压力最大，约为重物重力的140%，因而不利于人挑担行走。图3(b)和图3(c)中肩部铅垂附加动反力Fy和肩部铅垂运动y0的相位差在 π/2附近，同样不利于人挑担行走。此外，图 3(b)和图 3(c)中附加动反力达到了重物重力的70%以上，肩部承受的最大铅垂压力过大(约为重物重力的170%)，人体负重过大，容易造成损伤。

若只考虑扁担-重物系统铅垂方向振动，其固有圆频率固有频率f=0ω0/(2π)=2.3 Hz。进一步计算发现，当人步行的频率为该固有频率的 70%～80%时，肩部铅垂附加动反力与肩部铅垂运动同相且大小适中，对人挑担行走比较有利，图3(a)即属于这种情况。反过来，如果人行走的频率不变，在重物重量增加时，应适当提高扁担的刚度k(根据式(7)，可以增加扁担横截面的宽度和高度，或者减小扁担的长度)。文献[1]认为挑夫步行的频率大约为扁担-重物系统固有频率的2倍时，挑夫可以走得既快又省力。这个结论值得探讨，因为这时肩部铅垂附加动反力和肩部铅垂运动反相，应该不利于挑夫行走。

2.2 肩部水平附加动反力

为了研究肩部承受的水平附加动反力，设定人步行的频率为1.8 Hz，改变悬绳长度，使得重物质心C到A点的距离分别为l=0.4 m，0.8 m，1.2 m和1.6 m，数值求解方程(1)，(2)和(5)，得到稳定时重物摆动角位移θ和肩部承受的水平附加动反力Fx，如图4和图5所示。

由图4和图5可以看出，悬绳越长，重物摆动角位移θ越小，因而肩部承受的水平附加动反力Fx也就越小，因此悬绳应尽可能长，但悬绳长度超过1.2 m后，重物摆动角位移和肩部承受的水平附加动反力的减小不显著。

图4 重物摆动角位移θ

图5 肩部受到的水平附加动反力Fx

3 结论

扁担挑物的过程中存在三种频率，即重物类似于单摆的振动频率、挑运者的步行频率和扁担-重物系统铅垂方向的振动频率，考虑挑担的实际情况，为了获得较好的挑担行走体验，三种频率之间需要相互协调。

(1)当人步行的频率为扁担-重物系统铅垂方向振动的固有频率的70%～80%时，肩部受到的铅垂附加动反力与肩部的铅垂运动同相且铅垂附加动反力适中。

(2)当重物类似于单摆的振动频率为人步行频率的25%～30%时，重物的摆角和肩部受到的水平附加动反力均较小。