探讨极值点偏移问题

荣兵

摘 要：极值点偏移是近年来高考数学中的重要考点，常出现在压轴题中，难度较大。为使学生更加深入地理解极值点偏移问题，顺利地解答相关的数学习题，在考试中考出理想成绩，教学中有必要对极值点偏移问题进行深入的探讨，为其能够正确、灵活应用于解题中奠定坚实基础。

关键词：高中数学;函数;极值点偏移;问题

极值点偏移问题涉及函数、导数知识，是运用导数研究函数的具体体现。因该部分知识较为抽象，相关习题难度较大，不少学生望而生畏。教学中为帮助学生树立解题自信应结合学生实际做好课堂内容的合理设计，为其系统地讲解该部分知识。

一、极值点偏移的定义

极值点偏移指单峰函数因极值点左右的变化快慢不同，使得函数图像没有对称性的一种现象。极值点偏移的定义并不难记忆，但要想深入了解，需要搞清楚以下问题：

其一，何为单峰函数？单峰函数值指研究的区间中只有一个极值的函数。这是讨论极值点偏移问题的前提。

其二，怎样从数学角度理解极值点偏移？为更好地理解极值点偏移，需要从学生熟悉的情境入手。对于函数f（x）满足定义域内任意自变量x都有f（x）=f（2m-x），不难推出该函数的对称轴为直线x=m。该函数在对称轴两侧变化快慢相同，其在m点取得极值点。假设f（x）=c的两根的中点为，若=m，表明极值点在两根的正中间，极值点未发生偏移。若出现f（x）>f（2m-x）或f（x）

二、极值点偏移的情境

由极值点偏移的定义可知，极值点偏移分为左偏和右偏两种情境。两种情境下得出的结论有所不同。

（一）极值点左偏

为使学生更好地理解极值点左偏现象，可通过画出相关的函数图像进行辅助分析。以单峰函数图像开口向下为例，极值点左偏时m点在点的左边，即，m<。因为在m点f'（x）=0，观察函数图像可知f'（）

（二）极值点右偏

类比极值点左偏的分析，若单峰函数开口向下时可知m点处在点的右边，即，m>。因为在m点处f’（x）=0，观察函数图像可知f'（）>f’（m）=0。同样可要求学生在课堂上推导单峰函数开口向上时的相关结论。

教学中为激发学生的学习兴趣，使学生牢固地掌握，深入地理解极值点偏移现象，既可运用多媒体课件结合具体的函数图像与学生一起分析相关的结论，又要注重鼓励学生在课堂上相互讨论，交流学习心得，以更好地暴露出学生理解上的偏差，使其能够及时查漏补缺，弥补不足。另外，为更好地检验学生对极值点偏移问题的理解深度，可设计相关的问题要求学生根据自己的理解进行判断。根据学生回答问题的情况，总结其学习中存在的共性问题，通过给予学生针对性的指引，及时纠正其理解误区，更好地把握极值点偏移的本质，搞清楚不同情境下相关数学结论的来龙去脉，使其能够在解题中灵活应用。

三、极值点偏移常见设问形式及解题思路

为使学生更好地应用极值点偏移知识解答相关的数学习题，课堂上应筛选并讲解相关的例题，使学生亲身体會极值点偏移知识在解题中的应用，进一步深化理解，积累相关的解题经验。同时，为更好地指引学生解答相关的习题，使其在以后的解题中能够胸有成竹，迅速破题，应鼓励学生做好极值点偏移常见的设问形式以及解题思路的总结。

极值点偏移问题常见的设问形式有：给出函数两个不相等的零点，要求证明两个零点之和与函数极值点之间的大小关系。如已知x1、x2（x1≠x2）是函数的零点，x0为函数的极值点，证明x1+x2>2x0;给出两个函数值的相等关系，证明对应自变量之和与极值点之间的关系。如f（x1）=f（x2）（x1≠x2），证明x1+x2>2x0;给出函数两个不相等的零点，证明函数导数在两个零点中点处导数与0的大小关系。如x1、x2（x1≠x2）是函数的零点，x0=，证明f’（x0）>0;给出两个函数值的相等关系，证明函数导数在对应自变量中点处导数与0的大小关系。如f（x1）=f（x2）（x1≠x2），x0=，证明f’（x0）>0等。

解答函数极值点偏移的一般思路为：求出函数在对应定义域内的极值点x0，而后构造一元差的函数，如F（x）=f（x0+x）- f（x0-x）或F（x）=f（x）-f（2x0-x）。确定函数F（x）的单调性，结合F（0）=0确定F（x）的符号，得出f（x0+x）和f（x0-x）的大小关系，问题也就不难求解。

四、极值点偏移问题的具体解题策略

在近几年的高考中，极值点偏移问题是考试的热点内容，考虑学生推理论证能力、运算能力以及抽象概括能力，同时考查学生数学思想的掌握和应用，有利于学生核心素养的培养。面对极值点偏移问题，可以结合题目特点，采取三种解题方式。

（一）比值代换解题。在此种解题方法中，不需要对函数单调性进行考虑，也不用求解参数取值范围，直接根据题意列出方程，利用结合分析的方式，消去参数，得出只有x1和x2的等式或不等式，通过比值代换的方式，构造新的函数，完成不等式的证明。例题：已知函数f（x）=（a∈R），如果f（x）存在两个零点x1、x2（x12。

证明：根据题意得出a=，所以，，假设=t，t>1，所以，所以，所以x1+x2=，所以x1+x2-2=，设函数g（t）=，t>1.因为g'（t）=>0，因此，g（t）在区间（1，+∞）上为单调递增，因此，t>1时，g（t）>g（1）=0，得出x1+x2>2。

（二）构造差函数解题。在此种方法应用时，已知函数的极值点，构造相应的一元差函数，对差函数进行求导，判断导数的符号，进一步确定差函数的单调性，判断差函数的符号，确定其大小关系，最终完成题目的求解。已知函数，如果x14。'

证明：根据题意可知，函数的定义域是（1，+∞），所以，当x∈（1，2）时，f'（x）>0，当x>2时，f'（x）<0。所以f（x）在区间（1，2）上是单调递增函数，在（2，+∞）上是单调递减函数，当x=2时，取极大值。因此，x10，因此，函数F（x）在（-1，1）上递增。因此，F（x）>F（0）=0，即f（2+x）>f（2-x）得出x1+x2>4。

（三）利用对数平均不等式解答。对数平均不等式是导数知识学习的二级结论，在解题中，需要先证明对数平均不等式，之后对对数平均不等式的极值点偏移问题进行求解。

已知函数f（x）=。（1）讨论函数f（x）的单调性;（2）如果f（x）存在两个极值点x1、x2，证明：。

解（1）根据题意得知函数f（x）的定义域是（0，+∞），所以导函数f'（x）=，如果a≤2，则f'（x）≤0，当a=2，x=1时，f'（x）=0，所以函数f（x）在定义域内单调递减。当a>2时，令f'（x）=0，得出x=或x=，当0时，函数f（x）为单调递减函数，在（，）上单调递增。

（2）根据（1）可知，f（x）有两个极值点，当且仅当a>2时，因为两个极值点x1、x2满足x²-ax+1=0，所以x1·x2-=1，假设x11，根据对数平均不等式可以得出1=，所以。

在極值点偏移问题解答中，引导学生利用对数不等式进行求解，完成题目的快速解答，同时，教师需要引导学生对解题方法进行总结，根据f（x1）=f（x2）的关系，构建等式，如果含有参数，需要先消去参数，如果等式中含有指数式，需要两边取对数。通过恒等变形转化成对数平均不等式模型，利用对数平均不等式完成题目求解。

结束语

极值点偏移是高中数学的难点。为使学生能够牢固掌握相关知识，提高解答相关习题的能力，应注重为学生深入系统地讲解极值点偏移知识，使其深入地掌握极值点偏移知识精髓，通过例题的讲解、习题的训练、日常的总结，使其牢固掌握相关的解题思路与技巧。

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