2019年高考全国卷Ⅱ文科数学第20题深度赏析

潘敬贞 蔡海涛

(1.广东省汕头市澄海华侨中学 515800；2.福建省莆田第二中学 351131)

蔡海涛(1975-)，男，福建省莆田人，中学高级教师，从事高中数学教学研究.

每一道高考试题都是命题专家的智慧结晶，高考题不仅承载着选拨使命，还承载着引导教学、育人等多重使命.很多高考题的解法并不唯一，为不同考生提供了多样的思考空间和解答路径，在某种程度上体现了试题的人文关怀，更是命题专家智慧的体现.本文以2019年高考全国卷Ⅱ文数第20题为例，进行多解分析和变式探究，以期与同行交流.

一、试题呈现与分析

(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；

(2)如果存在点P,使PF1⊥PF2,且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围.

本道的第一问是以椭圆的焦点三角形为背景，求椭圆的离心率，该问主要考查椭圆定义和基本性质，试题难度不大，很多学生都能够轻松作答.第二问是以椭圆焦点三角形为研究背景，以三角形面积为研究对象，求椭圆的参数的值和范围.该问主要考查椭圆基本性质，焦点三角形面积，直线与圆锥曲线的位置关系等知识，考查学生的推理论证与运算求解等能力，考查数形结合、化归转化及函数方程思想等数学思想方法，考查逻辑推理、直观想象、数学运算等数学核心素养.

本道试题并不难，试题素材和问题设置学生并不陌生，提出的问题都是解析几何中较为基础、常规的问题.试题入口宽，层层递进，有利于学生的解答.试题的解答最关键是通过直观想象、数形结合等过程将题设的几何条件转化为代数进行处理，其解题智慧点是选择恰当的化归方式进行优化推理过程.试题突出以知识为载体，重点考查数学“四基”和“四能”，考查学生的核心素养水平.试题具有很好的信度与效度，对其进行求解探讨和变式探究对提升学生解题能力，发展数学素养水平，提高备考效益等具有积极意义.

二、解法赏析

评注解法1—解法4其本质是一样的，都是围绕焦点三角形进行求解.解法1与解法2通过连接PF1后根据直角三角形的性质得△PF1F2是直角三角形，再结合椭圆定义进行求得椭圆的离心率，解答思路简单、过程简洁，这两种解法是解答该题的最佳解法.解法3和解法4连接PF1后在△POF2中利用正余弦定理求得PF1，再结合椭圆定义也可求得椭圆的离心率，这两种解法的解答过程也不是很复杂，若一时没想到△PF1F2是直角三角形，解法3和解法4也是不错的选择.解法5是将点P的坐标代入椭圆方程得出关于a，b，c的方程，再结合b2=a2-c2即可求出椭圆的离心率，该解法自然，思路清晰，但对运算求解能力的要求相对较高.解法6是利用椭圆的第二定义，虽然教材没有专门介绍椭圆第二定义，但教材例题蕴藏着该方法，该解法的解答思路清晰、过程简洁，解答小题用该解法达到快速、高效的目的.

评注解法1是通过设点P的坐标，然后根据题意列出相关的方程并求解得b的值，再通过代数变形以及不等关系a的取值范围.该解法解题思路清晰，容易想到，但对运算求解能力和推理论证能力的要求比较高.

评注解法2主要利用椭圆定义、三角形面积公式、勾股定理列有关方程，然后结合椭圆中基本量的关系解得b的值，最后利用基本不等式求得a的取值范围.该解法的思路也非常清晰，也是容易想到的解法，同时减少了运算量，是该题的通解.

评注该解法思路清晰，运算量小，过程简洁、高效.该解法的巧妙之处是将方程思想使用得淋漓尽致.

评注该解法用到焦点三角形面积的结论快速求出b的值，再利用数形结合很快解得a的取值范围，但需要注意的是，在解答题的解答过程中焦点三角形面积的结论不能直接使用，需要有解答、推理过程.但若在解答客观题时该解法是很不错的选择，可以快速准确的解决问题.

三、变式探究

情景变式和过程变式是试题变式的重要路径，这两种变式都有利于揭示问题的本质，拓展问题的外延，对培育学生的数学能力，发展学生的核心素养水平都大有裨益.

变式5 已知长方形ABCD，AB=4，BC=3，则以A、B为焦点且过C、D两点的椭圆的离心率是____.

评注变式1——变式5都是对考题的第一问进行情景变式，将问题的情景和表述进行变换，但问题的本质是相同的，求解思路基本一致.通过对变式1——变式5的求解让学生在变中寻找不变的本质，加深学生对问题本质的理解，提高审题能力、分析问题能力、解决问题能力，提升学生的数学思维能力、应变能力等.

评注考题的第二问是通过已知焦点三角形的面积告知参数b的值，椭圆上存在点P使PF1⊥PF2告知参数a的取值范围.变式6——变式8是在考题第一问的基础上结合第二问的思路，进一步研究椭圆的性质.变式6——变式8的求解思路从方程思想到寻找不等式关系，试题难度进一步提高，问题的求解对数学能力的要求进一步提高.通过对变式6——变式8的求解进一步提高学生的分析问题能力、解决问题能力，最终提高学生的数学能力，发展学生数学素养水平.

答案：2.

答案：[2,+∞).

评注变式9——变式12是切换问题背景，将椭圆换位为双曲线，为一般化研究进行有益探索，同时也为学生应用实践提供有效的素材，对提高学生的分析问题能力和解决问题能力，提高复习备考效益有积极意义.

高考试题具有导向功能，做为一线教师需细细口味，从不同角度对试题进行深度赏析，引导学生对问题本质加深理解，打通知识脉络，编织知识网络，构建知识体系.同时，教师对问题进行情景变式探究，可让学生在变的过程中寻找不变的本质，有利于揭示问题本质；而过程变式探究可引导学生深度学习，拓宽解题思路，训练数学思维，提升数学能力，发展数学素养水平等，从而让学生在解题实践中深化对知识的理解，在解决问题过程中提升数学素养.