基于窗化法与新误差估计方法改进的BWGAD算法

王晨旭，伍 春

(1.西南科技大学信息工程学院，四川 绵阳 621000；2.内江高级技工学校，四川 内江 641000；3.西南科技大学国防科技学院，四川 绵阳 621000)

0 引言

符号同步是数字通信领域的一项关键技术，符号同步技术可以降低因时钟频率偏移、多普勒频移以及发送端与接收端的传播时延导致的采样偏差[1].符号同步主要分为外同步和自同步两种方法，采用外同步需要在发射端预先发送一段包头来作为训练序列，这种同步方法需要占用一定的频谱资源以及消耗额外的发射功率.自同步法不需要发送附加的已知数字序列，并且可以从待识别基带信号获得符号的最佳采样点.本文研究的Gardner符号同步属于自同步法，算法直接对信源序列进行插值，最终插值输出符号的最佳采样点.Gardner有着诸多优点，但依然存在收敛精度不够、收敛速度较慢的现象.

K.H.Mueller等[2]提出了M&M算法，该算法的优点是采样率低，可应用于三角波成型的传输系统，但对载波同步精度要求高且理论不太成熟，因此应用受限.F.M.Gardner等[3]提出了Gardner算法，该算法不依赖于载波同步技术，解决了符号同步易受载波同步影响的问题.Gardner算法最终插值输出2个点，插值采样率低，因此，Gardner算法可应用于高速调制传输系统的定时同步系统.D.Kim等[4]提出的插值算法在高信噪比条件下可以提高定时精度，但在较低信噪比时性能不佳.F.J.Harris等[5]利用多相滤波器组对定时估计误差偏差进行修正，一定程度上改善了定时误差性能，但该方法的定时精度依赖于多相滤波器组的个数，使得算法复杂度迅速增加.刘祖军等[6]对匹配滤波器进行插值，并改变匹配滤波器的群时延，该方法比文献[5]取得了更好的定时同步效果.文献[7]利用牛顿法逼近EM算法的最大极值点，提高了定时精度，但由于在逼近过程中需要不断计算目标函数的一阶、二阶导数，致使算法计算量极大且算法延时也很大.文献[7-10]将最速下降法用于EM算法的最大值近似求解，该方法降低了EM算法的计算量，但与Gardner定时同步算法相比计算量仍然很大，且不易于在高速的Farrow结构中实现.

上述算法对定时的精度有所提高，但依然存在计算量大等局限性.因此，本文基于窗化法对Gardenr算法的插值滤波器进行了加窗处理，增强了插值器的阻带衰减能力，提高了插值器的抗混叠性能；同时考虑到相邻符号间的干扰问题，基于MMSE准则对定时误差检测算法进行改进，降低了符号的定时同步误差.综合以上两处改进，提出了BWGAD(Blackman Window Gardner，BWGAD)算法，并仿真验证了BWGAD算法具有更高的计算精度与收敛速度.

1 定时总体结构

非协作通信系统盲解调器主要包括A/D、自动增益控制、载波频率估计、粗解调、载波同步、信道估计、信道均衡、调制方式识别等，本文对符号同步算法做了研究，Gardner算法的定时同步系统结构见图1.

图1 定时同步系统结构

完整的Gardner符号同步算法由插值滤波器(Inter Filter，IPF)、定时误差检测器(Timing Error Detector，TED)、环路滤波器(Loop Filter，LPF)、数控振荡器(Number Control Osillator，NCO)组成.在定时同步环路中，IPF主要对基带信号进行重采样，TED计算当前重采样信号的定时误差，定时误差通过LPF滤除部分噪声和一些高频分量后将环路滤波后的误差信号发送到NCO处理并将结果输出到插值器，插值器更新插值位置[3].本文针对插值滤波器和定时误差检测算法进行改进研究.

2 基于窗化法改进的插值算法

为了提高定时同步系统的计算精度，本文对Gardner的4点拉格朗日插值器进行加窗处理，通过窗函数来提高插值器的抗混叠性能，进而达到提高算法的计算精度.

由定时同步系统框图可知，经A/D采样后的离散信号插值输出为

(1)

其中插值周期为Ti=T/2，插值器的输出为：

i=kTiTs-m;

mk=kTiTs,μk=kTiTs-mk;

(2)

(3)

hI(n)=h(n)=hlp(n-u)w(n).

(4)

其中：hI为原Gardner插值基函数[3]；hlp为理想低通滤波器；w(n)为窗函数；u为时移因子；n为窗的长度.常见的窗函数有矩形窗、三角窗、海明窗、布莱克曼窗(Blackman)，考虑到Blackman窗幅值识别精度最高这一特点，本文选用布莱克曼窗函数，即Blackman窗函数，其主瓣宽度为12/n，阻带最小衰减约为57 dB，阻带最小衰减性能明显优于Gardner多项式插值滤波器，经加窗处理后的插值基函数具有更好的抗混叠性能，可以有效地提高定时精度.

布莱克曼窗函数为

(5)

此外，布莱克曼窗函数的长度N值决定了I值的大小，而本文窗化法设计的有限长脉冲响应滤波器可以灵活地增大I值，从而进一步提高插值精度.

值得注意的是窗化法设计的FIR滤波器需要预先设置滤波器的阶数N，但由于估计时延τ是一个连续变化的随机变量，采用数字化处理的FIR滤波器必然会带来量化误差，所以不对滤波器进行数字化处理，直接利用理想低通滤波器与窗函数的闭合式来精确地计算估计时延，即

(6)

窗函数的长度N决定了插值滤波器的抽头系数I值的大小，窗化法可以灵活改变I值的大小，I值增大可以获得更多的邻近采样点的幅值信息，进一步提高了插值算法的计算精度，所以改进算法的插值精度明显优于(3)式.又因为(3)式中经量化的数字滤波器抽头只能取到某些离散值，因而引入了量化误差，由(6)式发现其中I值为一变量，不再限制于特定的量化值，可以获得更高的插值精度.

定时的精度一定会受到克拉美罗界(CRB，Cramer Rao Bound)的约束，但实际系统中CRB[8]不易精确获得.以定时时延估计的MCRB[9]为参考.设待估计的I/Q两路时延参数为ν=[τ1，τ2]，估计结果为

(7)

具体公式：

(8)

(9)

(10)

由于x1(t)与x2(t)互不相关，所以其相关函数为0，故修正的克拉美罗界为

(11)

式中：τ表示当前采样点与最佳采样点之间的时间延迟，通常τ∈[-0.50T，0.5T]，其中T为符号周期；BL=1/2LT，其中L为符号个数；Es/N0为信噪比.ζi为

(12)

(13)

(13)式是时间延迟的标准差的下限值.

3 基于MMSE准则改进的定时误差估计方法

针对Gardner算法在小滚降系数时定时误差较大这一局限性，文献[12]对Gardner定时误差检测算法进行了修正，该方法对降低定时误差存在一定的作用，但是当QPSK信号通过卫星等衰落信道时，QPSK信号的幅度会因信道的衰落特性呈现出多值的现象.此时即使采样精确，Gardner定时误差算法计算出的误差值仍不为零，所以在文献[12]修正算法的基础上有必要进一步改进以减小定时误差.

由图1定时同步实现框图可知，接收端的QPSK信号为

(14)

其中：卫星发送的周期为T的复数信号序列，可以用yi=ai+jbi表示；τ表示路径时延；A表示衰落因子；gT(t)是发端成型滤波器(平方根升余弦滚降滤波器)；θ为载波信号相位θ∈[-π，+π]；c(t)是复高斯随机过程.则经匹配滤波后的输出信号为

(15)

其中gR(t)是收端的平方根升余弦滚降滤波器，g(t)=gT(t)⊗gR(t)，n(t)=ω(t)⊗gR(t)是一个窄带高斯随机过程.x(t)离散后有

(16)

根据(16)式与Gardner定时误差检测原理，并结合最小均方误差准则(minimum mean-squared error，MMSE)，可推导出相邻两符号最佳采样点与中间值的关系

(17)

(18)

(19)

(20)

4 仿真分析与结果

图2通信链路以QPSK信号为输入信号，符号个数设为1 000，收发端均采样根升余闲滚降滤波器，滚降系数设为0.8，信道为理想高斯信道，信噪比设为10 dB，依先前经验将环路滤波器的阻尼系数ξ设为0.707，定时误差估计曲线的增益Kd即定时误差估计鉴相曲线在零值附近的斜率，可由(21)式算出.

(21)

仿真使用QPSK为输入信号，分别对原Gardner算法与BVGAD算法进行仿真研究.仿真参数设置：码元速率为1 000 B，基带信号采样率fs为4 000 Hz，符号率偏差为0.5%，滚降系数α设定为0.8.

图3为BWGAD定时环路的工作流程，第1步定时环路进行初始化；第2步判断数控振荡器是否溢出产生时钟，若溢出则进行下一步，若没有溢出数控振荡器则继续运行；第3步数控振荡器中的小数间隔器计算出分数间隔；第4步将数控振荡器产生的整数倍的采样时钟与分数间隔送入插值滤波器，插值滤波器对输入信号进行插值，最终输出2个插值点，并将这2个插值点送入定时误差检测模块，依这两个插值点，定时误差检测模块就可以计算出定时误差，并将定时误差送入环路滤波器；第5步环路滤波器对定时误差进行低通滤波，滤掉高频成分与带外噪声，并计算出数控振荡器的控制字，反馈给数控振荡器.

图2 BWGAD定时环路的仿真流程图

图3 BWGAD定时环路仿真的通信链路

为了证明本文BWGAD算法的正确性，该算法在不同起始时偏条件下分别绘制出分数间隔曲线，如图4所示.

(a)起始时偏为0.05，(b)起始时偏为0.1，(c)起始时偏为0.15，(d)起始时偏为0.2

图4表明，当起始时偏在0～0.15T范围内以0.05T递增时，分数间隔随着起始时偏的增大曲线收敛时所对应的点数逐渐增大即收敛速度逐渐变慢，但当起始时偏设为0.2T时收敛速度又有所回升，所以算法的收敛速度与起始时偏不成正相关，其次分数间隔是用来表示插值点与最佳采样点之间的距离大小，当起始时偏在0.05～0.2T即(0.2-0.8)Ts范围内以0.05T逐渐递增时，对应的分数间隔应为0.8，0.6，0.4，0.2Ts，但无论起始时偏如何选取，分数间隔曲线最终都会收敛，而区别在于收敛时分数间隔值的大小发生了变化，间接验证了算法的正确性.

考虑信噪对分数间隔的影响，将BWGAD算法与Gardner算法在相同信噪比下进行仿真分析，仿真结果如图5与6所示.图5与6仿真结果表明，15 dB时BWGAD算法与Gardner算法的分数间隔都有一定程度的波动，但BWGAD算法的分数间隔波动幅度要远小于Gardner算法，所以稳定性更好.

图5 Gardner分数间隔15 dB仿真结果

图6 BWGAD分数间隔15dB仿真结果

为了更直观更精确展示BWGAD算法的稳定性优于Gardner算法，分别给出信噪比在15，25 dB条件下BWGAD算法与Gardner算法分数间隔的统计值(见表1).

表1 分数间隔统计特性

表2 环路滤波系数

表1所示的峰值、方差、均值是经过多次计算求平均所获得，在相同信噪比下BWGAD算法的峰值更小，说明分数间隔波动更小.对比二者的方差发现，相同信噪比下BWGAD算法的方差小于Gardner算法，因此BWGAD算法的稳定性更好，其次BWGAD算法的均值更加符合起始时偏0.1时的分数间隔值为0.6.

为研究环路的自由振荡角频率ωn的大小对环路收敛速度的影响，对ωn分别取值为0.000 16，0.000 32，0.000 64，0.000 96，那么不同自由振荡角频率对应的环路滤系数为C1，C2如表2所示.

图7是BWGAD算法在未加噪声、未加起始时偏，自由振荡角频率仿真出的分数间隔曲线.

(a)ωn=0.000 16，(b)ωn=0.000 32，(c)ωn=0.000 64，(d)ωn=0.000 96

由图7所示，图7(a)在第470个插值点处开始收敛，图7(b)在第230个插值点处开始收敛，图7(c)在第150个插值点处开始收敛，图7(d)在第120个插值点处开始收敛，4幅图最终都会收敛，但环路的捕获速度随着自由振荡角频率在一定范围内变大时有所提高.

为进一步分析相同信噪比下分数间隔在不同起始时偏下收敛后的稳定性能，令信噪比为25 dB，取分数间隔曲线收敛后的1 000～2 000点的值如图8所示.

(a)起始时偏为0.05，(b)起始时偏为0.1，(c)起始时偏为0.15，(d)起始时偏为0.2

收敛后的分数间隔曲线会在一个均值附近有着±0.03的波动，波动已经很小，此时可以认为分数间隔已经收敛.为了更加直观看出分数间隔收敛后的统计特性，表3给出了算法收敛后分数间隔的均值、方差以及峰值.

表3 分数间隔统计特性

表3中分数间隔均值的计算结果与理论分析结果基本一致，因为符号周期与插值输入信号的采样周期为4倍的关系即T=4Ts，所以起始时偏为0.05T也就是0.2Ts时，分数间隔的理论计算结果应该是0.8Ts.

最后使用BWGAD算法对QPSK信号定时同步后的星座图来验证BWGAD算法的同步性能，图9为BWGAD算法对在信噪比为10，15，20 dB，起始时偏为0.2时QPSK信号定时同步后的星座图.

图9 QPSK信号不同信噪比BWGAD同步后星座

由图9可知，当信噪比为10 dB时，星座点之间的距里已经很大，信号点之间没有一点交叠现象，此时定时同步系统已经具有较好的性能，而随着信噪比的增加，信号点之间的欧式距里越来越大，此时定时性能更佳，所以信噪比对Gardner定时同步系统的性能有着一定的影响，但当信噪比大于10 dB时定时同步系统已经可以很好地捕获定时误差.

5 结论

本文介绍了Gardner算法实现的流程，以及定时同步环路各环节涉及的算法，如插值算法、误差检测算法等，并在Matlab中完成Gardner算法的仿真，以分数间隔参数为例，通过对比不同起始时偏、不同信噪比、不同环路带宽等变量下的分数间隔曲线，验证了Gardner算法的正确性.最后基于窗化法对Gardner算法中的插值方法进行改进，并给出一种新的定时误差估计方法，结合两种改进方法提出本文的BWGAD算法，并对BWGAD算法与Gardner算法进行仿真分析，最后仿真验证了BWGAD算法具有更高的定时同步精度与速度.