走向思维通透的深度阅读

王芳

[摘 要]梯形面积公式除了用于计算梯形面积，也可以看成是计算三角形、平行四边形面积的通用公式，还与等差数列有关。引导学生深度阅读，构建不同知识之间的关联，最终达到对梯形面积公式的深度理解。

[关键词]梯形面积公式;数学阅读;深度理解

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2021）35-0014-03

梯形的面积公式是小学五年级上册“多边形的面积”单元的最后一个面积计算公式，是由平行四边形的面积公式推导而来。这个公式除了有计算梯形面积的作用，也可以看成是计算三角形、平行四边形面积的通用公式，还与等差数列有完美的数形结合。走向思维通透的数学阅读，通过引导学生深度阅读公式，帮助学生深度理解梯形面积公式。

一、回顾意义，联想结构

师：同学们，今天老师和大家共同编写一份数学报，这份报纸的名字是“数学大观园——梯形面积公式专版”。首先让我们一起走进“知识导读”专栏（如图1）。从这份导读中，你读到了什么？

生1：我读到了梯形的面积公式以及字母表达式。

生2：我认为可以增加一些梯形面积公式的推导过程，这样就可以清楚地看出公式的由来。

师：你们都说得有理有据。还记得这个公式是怎么推导出来的吗？

生3：找一个和它完全一样的梯形拼在一起变成一个平行四边形，平行四边形的底就是梯形的上底与下底之和，平行四边形的高就是梯形的高，平行四边形的面积除以2就是梯形的面积。

师（出示图2）：想一想，为什么要把梯形转化成平行四边形来推导面积公式呢？

生4：从图上看，原来梯形每排面积单位的个数是不相等的，如果两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形后，每排面积单位的个数就相等了，这时我们可以很快算出平行四边形的面积，再除以2就可以知道一个梯形的面积。

师：在这份报纸里还能编写什么内容？

生5：还能编写有关梯形面积计算的实际问题。

生6：不仅可以编写一些常规问题，还可以编写一些比较特殊的问题。

【设计意图：对于梯形面积公式的阅读，首先给出公式，让学生由公式联想到了公式背后的推导过程;然后引导学生结合运算的意义理解为什么要这样推导，寻找推导的依据;最后，让学生结合原有的经验，联想与梯形面积公式相关的知识，先整体把握数学报的结构，形成思维的脉络，然后与预定的结构进行对接，提升学生的阅读能力和思维水平。】

二、建立联系，把握本质

师（出示图3）：这是“数学大观园”第二版，自己读一读。

生1：梯形上底不断缩小，就变成了一个三角形。这个三角形可以看成一个上底是0的梯形，所以三角形的面积也可以运用梯形的面积公式来计算。

师（出示一个三角形）：给这个三角形标上数据，你能用三角形面积公式和梯形面积公式分别算出这个三角形的面积吗？

生2：计算得到的结果是相同的，但是用三角形面积公式计算三角形的面积更加方便。

生3：如果用梯形面积公式计算三角形的面积，那么“三角形的面积=（0+底）×高÷2”，“0+底”还是底，回到了“三角形的面积=底×高÷2”。用梯形面积公式计算三角形的面积也就是相当于用一个没有化简的公式在计算。

师：为什么平行四边形也可以用梯形面积公式来计算呢？

生4：把梯形的上底拉成和下底一样长，得到的平行四边形就相当于一个上底和下底都相等的梯形。

师（出示一个平行四边形）：标上数据，你能分别用梯形面积公式和平行四边形面积公式来计算平行四边形的面积吗？

生5：用两种公式都能算出结果，但是用平行四边形面积公式计算平行四边形的面积更方便。如果用梯形面积公式来算平行四边形的面积，那么“平行四边形的面积=（底+底）×高÷2”，“底+底”是2个底，2个底除以2等于1个底，化简后还是原来的平行四边形面积公式。

【设计意图：给学生一份完整的阅读材料，学生在阅读时通过图形的变化过程理解梯形面积公式与平行四边形面积公式、三角形面积公式之间的联系，最后通过计算发现，虽然用梯形面积公式可以计算三角形和平行四边形的面积，但是运用对应的三角形和平行四边形的面积公式计算更加方便。在化简的过程中，学生从代数的角度看到本质，构建了不同公式之间的联系。】

三、联想问题，丰富认识

师：根据梯形面积公式想到了三角形和平行四边形的面积公式，你还能联想到什么问题呢？自己当一回小编辑，试著编一道有关梯形面积公式的实际问题。

展示学生作品：

师：如果你是主编，你愿意选用哪一份给小读者阅读呢？为什么？

生1：我选钢管问题，这道题看起来好像与梯形面积公式无关，其实有很大的联系。因为这个钢管堆起来后，横截面就是一个近似的梯形。

师：如果要给这一板块取个名字，可以是什么？

生2：这里是把钢管堆成梯形，我们可以取名为“堆砌问题”专栏。

师：说得有道理！在堆砌问题中，除了像钢管这样横截面是圆形的，还可以是其他图形吗？

生3：还可以是三角形、长方形、正方形、五边形等。

师（出示图5）：想法真不错！这里一共有多少块砖？你能够算一算吗？

师：为什么这些问题都与梯形的面积公式有关呢？（学生回答略）

生4：这些图案样子都近似梯形，所以可以像梯形面积公式的推导过程那样，再找一堆完全一样的，旋转后拼在一起，这时就能把不相等的每排砖块数转化成相等的。

生5：刚才借助梯形面积公式算出了总个数，那么总个数也可以用一个式子来表示，总个数=（顶层的个数+底层的个数）×层数÷2。

师：你们真厉害，从堆砌问题中联想到了总个数和梯形面积公式之间的联系。

【设计意图：对于梯形面积公式的阅读，学生不仅要能够利用公式求出有关梯形的面积，还要能够理解推导过程的本质，解决与此相关的数学问题。在上述教学中，首先让学生联想梯形面积公式可以解决哪些实际问题，筛选出高度相关的实际问题后，从图形的整体形状把握其相关性;然后，进一步联想，让学生从横截面是圆想到了还可能是其他图形，并从计算的过程中理解这里思考的过程与推导梯形面积公式的本质过程是相同的;最后，根据梯形面积公式创造计算总个数的面积公式，让学生的阅读从浅显走向深入，让学生对梯形面积公式的认识由特殊走向一般。】

四、数形结合，拓展认识

师：在编辑报纸的过程中，老师收到了一份特别的稿件（如图6），这位同学想把这道算式也放到这张报纸里，你们同意吗？

生1：我同意！可以把这一列数想象成梯形，像梯形面积公式推导那样，找一串同样的数，排成上下两行（如图7），这样上下两个数就形成一对：1+9，2+8，3+7，…，9+1。一共有9对，每一对的和都是10。

生2：根据他的方法，可列式为（1+9）×9÷2= 45。虽然它们的和都是10，1+9，2+8，3+7，…，9+1，这些算式的和都相同，但是找1和9相加更加方便。

师：有道理，为了统一和研究方便，我们找一组具有代表性的，用第一个数与最后一个数相加的和表示。

师：像1+2+3+…+9这样的一列数有什么特点呢？能够再举出这样的例子，用刚才的方法来算一算吗？

生3：我举的例子是2+4+6+8+…+100，或者13+16+19+22+…+33，这些数和刚才的一列数相同，它们相邻两个数的差都相等。

師：相邻两个数的差都相等的数列叫等差数列。

师：这列数的计算结果和计算梯形的面积有什么联系？

生4：我发现这列数的计算过程和推导梯形面积公式的过程是相同的。推导梯形面积公式是找一个完全相同的梯形和原梯形拼成平行四边形，这样每排面积单位的个数相等。而这里是找一列和它完全相同的数，倒过来排，上下两个数作为一组，这样每组数的和都相等。

师：你找到了它们相同的地方。你认为等差数列的和可以怎样求呢？

生5：可以用“（第一个数+最后一个数）×个数÷2”算出等差数列的和。

【设计意图：在上述教学过程中，让学生根据算式自主探究，找寻解决问题的不同方法。在学生找到了这列数的计算方法后，进一步拓展学生的认识，让学生再举出类似的数列，找到这些数列之间的联系，并尝试计算数列的和。在找到计算方法后，让学生找出计算等差数列与梯形面积公式之间的联系，并且根据梯形的面积公式找个性化的表达等差数列的计算公式。这样，一方面加深了学生对梯形面积公式的认识，另一方面让等差数列的计算也找到了形的依附，沟通了数与形之间的关联。】

五、归纳提炼，迁移运用

师：今天再次阅读梯形面积公式，说说你有什么收获。

生：以前我只知道运用梯形面积公式计算梯形的面积，现在我知道梯形面积公式不仅可以计算梯形的面积，还可以计算平行四边形的面积、三角形的面积，还可以求出一堆横截面近似梯形的物体的个数，以及求等差数列的和。

师：数学就是这样，可以由一个知识点联想到许多有关联的知识。如果让你继续想下去，还能想到什么？

……

师：如果从长方形面积公式想起，你能想到什么呢？从长方形周长公式想起，你又能想到什么呢？

【设计意图：通过阅读梯形面积公式，让学生联想到一系列和面积公式有联系的数学知识，建立了以梯形面积公式为中心的知识网络，达到对梯形面积公式的深度理解。课末，对本课的学习进行总结与提升，让学生将本课学到的阅读方法迁移运用到对其他知识的阅读中，达到对其他知识的深度理解。】

【本文系江苏省教育科学“十三五”规划“普教立项课题”“小学数学‘为思维通透而教’课堂模式孵化实践研究”（课题编号：D/2018/02/17）的研究成果。】

（责编 金 铃）