浅析晶体结构参数对一维三原子链晶格振动的影响

郑世燕 常斗亮

【摘要】以简谐近似下一维三原子链晶格振动为理论计算模型，通过数值计算分析法重点讨论了典型晶体结构参数（如：原子间距、原子质量及恢复力系数等）对晶格振动的影响，进而加深了对固体物理学晶格振动相关内容的理解，可为工程上带通滤波器的研发提供一定的参考。

【关键词】固体物理;一维三原子链;晶格振动;色散关系

0 引言

有关晶格振动的经典理论是固体物理学研究晶格原子运动规律进而阐明固体内在微观过程和宏观性质间相联系的重要理论基础。对晶格振动中色散关系（ω-q）的研究，大大加深了人们对于晶格振动的认识与理解;探讨晶格振动色散关系，对研究晶体性质具有重要的影响，诸如固体的热导、热膨胀、热阻等。此外，晶格振动与固体的力学、电学、超导电性、磁性、结构相变等都有关系。因此，对固体中粒子振动的研究成为固体物理学中的一个重要研究内容。但当前许多固体物理学教材[1-5]是基于经典力学在简谐近似条件下求解一维单原子链和双原子链模型的格波解和色散关系。

孙美慧等人[6]进一步在简谐近似条件下获得平衡时原子间距为a（晶格常数为3a），质量分别为m0、m1和m2（令m0

这是一个关于ω2的一元三次方程，设其解分别为ω1、ω2和ω3，对ω1、ω2和ω3进行数值计算可得色散关系曲线如图1所示。图中ω1、ω2和ω3分别表示声学波、低频光学波和高频光学波所对应的频率;△ω1、△ω2和△ω3分别表示声学波、低频光学波和高频光学波的频谱宽度;ωg1和oωg2分别表示声学波与低频光学波间以及高低频光学波间的频率禁带宽度。

此外，张启义[7]和徐权[8]分别研究一维单、双原子链中杂质的局域振动膜与杂质质量关系，秦春伟等人[9]讨论一维单原子链和一维双原子链色散关系的内在联系，王端阳等人[10]利用数值模拟法分析典型晶体结构参数对一维双原子链色散关系的影响，赵远等人[11]分析了原子质量对一维三原子链色散关系的影响并建立了频谱宽度和频率禁带宽度随原子质量变化的基本规律，顾培夫等人[12]鉴于偏振带通滤波器在光通讯波分复用技术的特殊应用，利用薄膜一维光子晶体[13]超晶格概念提出了新的偏振带通滤波器的设训方法。

现有文献对简谐近似下的一维三原子链模型晶格振动与原子间距、原子质量和恢复力系数等晶体结构参数间的关系未有全面分析讨论，故本文将以文献[6]所获得的一维三原子链模型的色散关系为出发点，通过数值计算分析原子间距、原子质量和恢复力系数等晶体结构参数对晶格振动的影响。

1 原子间距对晶格振动的影响

在原子质量（m0、m1和m2）与恢复力系数（β）保持不变的情况下，令公式（1）中的原子间距分别为a和a/2，其色散关系曲线如图2所示。分析图2曲线可知：

（1）当原子间距为a时，简约布里渊区（Brill-ouin zone）波矢q的取值范围为（-π/3a，π/3a）;而当原子间距减为a/2时，简约布里渊区波矢9的取值范围为（-2π/3a，2π/3a）。这与正倒格子的关系相吻合，即倒空间中的简约布里渊区宽度随着正空间中原子间距的减小而反比例增大。

（2）在简约布里渊区范围内观察图2曲线的斜率变化可知，曲线斜率随着原子间距的减小而减小，意味着晶格振动在晶体中的传播速度（即格波速度）随原子间距的减小而减小，由此进一步说明格波速度与晶格结构的周期性有关。

（3）频谱宽度（△ω1、△ω2和△ω3）和频率禁带宽度（ωg1和ωg2）并未受到原子间距变化的影响，说明频谱宽度和频率禁带宽度与晶体结构的周期性无关。

2 原子质量对晶格振动的影响

为简单起见，此數值计算分析中所采用的原子质量大小并非原子的真实质量，而是m0、m1、m2三个原子质量的相对值，且相应的格波频率也为相对值[11]。其中，m0、m1、m2分别代表小原子、中原子和大原子的质量。

2.1 小原子质量对晶格振动的影响

在原子间距（a）、恢复力系数（β）及中原子和大原子的质量（m1和m2）保持不变的情况下，令公式（1）中的原子质量比依次为m2/m1/m0=4/2/1、4/2/1.5，其色散关系曲线如图3所示。分析图3中曲线可知：

①简约布里渊区宽度并不随着小原子质量m0的变化而变化。

②曲线斜率除了低频光学波ω2随着小原子质量m0的增大而变大外，声学波ω1和高频光学波ω3曲线斜率变化并不明显。

③随着小原子质量m0的增大，低频光学波频谱宽度△ω2增大较明显，体现在频带底比频带顶减小得更快些;高频光学波频带底和频带顶随着小原子质量m0的增大虽都有明显下降，但总体频谱宽度△ω3变化较不明显;声学波频谱宽度△ω1变化也较不明显。

④两个频率禁带宽度ωg1和ωg2均随小原子质量的增加而变窄。

2.2 中原子质量对晶格振动的影响

在原子间距（a）、恢复力系数（β）及小原子和大原子的质量（m0和m2）保持不变的情况下，令公式（1）中的原子质量比依次为m0/m1/m0=4/2/1、4/3/1，其色散关系曲线如图4所示。分析图4曲线可知：

①简约布里渊区宽度也不随中原子质量m1的变化而变化。

②曲线斜率除了声学波ω1随着中原子质量m1的增大而变小外，低频光学波ω2和高频光学波ω3曲线斜率变化并不明显。

③随着中原子质量m1的增大，声学波频谱宽度△ω1呈减小趋势，而低频光学波ω2和高频光学波ω3频谱宽度△ω2和△ω3变化都不明显。

④声学波和低频光学波间的频率禁带宽度ωg1变窄，而高低频光学波间的频率禁带宽度ωg2变宽。

2.3 大原子质量对晶格振动的影响

在原子间距（a）、恢复力系数（β）及小原子和中原子的质量（m0和m1）保持不变的情况下，令公式（1）中的原子质量比依次为m2/m1/m0=4/2/1、6/2/1，其色散关系曲线如图5所示。分析图5曲线可知：

①简约布里渊区宽度同样不随大原子质量m2的变化而变化。

②曲线斜率都随着大原子质量m2的增大而略有变小，即格波速度略有减小。

③随着大原子质量m2的增大，声学波频谱宽度△ω1、低频光学波频谱宽度△ω2和高频光学波频谱宽度△ω3均减小。

④两个频率禁带宽度ωg1和ωg2均随大原子质量m2的增加而变宽。

结合图3、图4和图5，易获得原胞内小、中、大三种原子质量的变化对声学波ω1、低频光学波ω2和高频光学波ω3所对应的简约布里渊区宽度均未有影响，但对其频谱宽度、频率禁带宽度均有影响。具体归纳为：随着小原子质量的增大，低频光学波频谱宽度增大较明显，而高频光学波与声学波频谱宽度变化较不明显;两个频率禁带宽度均随小原子质量的增加而变窄。随着中原子质量的增大，高低频光学波频谱宽度变化都较不明显，声学波频谱宽度减小;声学波和低频光学波间的频率禁带宽度变窄，而高低频光学波间的频率禁带宽度变宽。随着大原子质量的增大，光学波和声学波频谱宽度均减小;两个频率禁带宽度均随大原子质量的增加而变宽。

由此表明一维三原子链中频谱宽度、频率禁带宽带的变化是晶体中所有原子参与集体运动的行为。该结论对工程实际应用中带通滤波器的设计可提供一定的理论参考价值。

3 恢复力系数对晶格振动的影响

在原子间距（a）与原子质量（m0、m1和m2）保持不变的情况下，令公式（1）中的恢复力系数分别为β和β/2，其色散关系曲线如图6所示。分析图6曲线可知：

（1）简约布里渊区宽度也不随恢复力系数的变化而变化。（2）曲线斜率除了声学波ω1随着恢复力系数的减小而变小外，低频光学波ω2和高频光学波ω3曲线斜率变化并不明显，即声学波波速有所减小，而高低频光学波波速变化不大。（3）随着恢复力系数的减小，三种格波的频率相应减小，频谱宽度和频率禁带宽度都有变窄趋势，由此说明带通滤波器的设计也应考虑恢复力系数变化对频谱宽度和频率禁带宽度的影响。

4 结论

本文探讨了原子间距、原子质量及恢复力系数等晶体结构参数对一维三原子链晶格振动的影响。结果表明：（1）改变正空间中的原子间距直接影响了倒空间中的简约布里渊区宽度，即随着原子间距的减小简约布里渊区宽度按照反比例增大。（2）原胞内大、中、小三种原子质量的变化对声学波、低频光学波和高频光学波的频谱宽度、频率禁带宽度均有影响。（3）随着恢复力系数的减小引起了格波频率减小、频谱宽度和频率禁带宽度均变窄，声学波波速减小。

综上所述，本文研究内容不仅可拓展现有固体物理学教学内容，同时又可为实际应用如带通滤波器的设计提供一定的理论指导。

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[13]许坤远.薄膜“梳状滤波器”可行性讨论[J].廊坊师范学院学报（自然科学版），2009，9（4）：60-62+67.

[收稿日期]2021-06-28

[基金项目]泉州师范学院博士科研启动经费（H21014）;泉州师范学院青年人才基金（201604）

[作者简介]郑世燕（1979-），女，博士，泉州师范学院副教授，研究方向：同步辐射X光吸收光谱及固体物理等。