“[2]”引发的数学危机

徐志强

在古埃及，尼罗河年年洪水泛滥，洪水退后，便会出现不规则的新田。在当时，如何分地才能使得每块田都有合适的尺寸和形状呢？古埃及人用12个等距离的绳结，就能构造出边长为3、4、5的直角三角形，然后又通过拼凑三角形，得到许多其他图形。

3、4、5是满足勾股定理的3个整数，被称为勾股三元数。在西方，勾股定理又叫作毕达哥拉斯定理，相传是由毕达哥拉斯发现的。毕达哥拉斯青年时期远赴埃及，甚至到印度，学到了很多知识，尤其是数学。对他而言，数字是神圣的，他相信整个宇宙都是以整数建立的。毕达哥拉斯认为，小数不属于自然界，任何事物都可以用整数解释。

但是，这个想法有个大问题，恰恰来自勾股定理本身。

例如，我们设正方形的边长是1，从一个角画一条对角线，就得到两个直角三角形，那么它的弦有多长呢？勾和股都是1，弦长就是[2]。什么数自乘等于2呢？這可没有整数解，只有一串复杂的小数。因此，这个简单的勾股定理例子表明了毕达哥拉斯的理念并不成立。

希帕索斯是毕达哥拉斯的门徒，相传他最先发现了[2]的问题并把这个大秘密泄露了出去。当时，这一“悖论”直接触犯了毕达哥拉斯学派的根本信条，导致人们在数学认识上出现了“危机”。这次危机也被称为第一次数学危机。

同学们现在知道[2]是无理数，但是你们能证明吗？让我们一起来试试。

同学们现在大致能理解这个危机中的矛盾，但是数学史上却有很多问题让数学家花了大量的时间进行研究。

公元前370年，这个矛盾被毕达哥拉斯学派的欧多克索斯通过给比例下新定义的方法解决了。按照“万物皆数”的理论，这个对角线是数，但是人们无法用数将它表示出来，也无法从几何角度解释“边长为1的正方形的对角线”是什么。欧多克索斯的比例新定义出现后，人们知道了：正方形对角线的长度和边长成比例，它是比例当中的一个变量。人们能从几何角度解释“边长为1的正方形对角线”了，也就消除了几何上的危机。关于欧多克索斯的比例论，感兴趣的同学可以阅读欧几里得的《几何原本》第二卷“比例论”的相关内容。

虽然如此，但是代数上的危机一直没有被消除，由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪下半叶。

1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数，并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了数学史上持续2000多年的第一次大危机。

第一次数学危机表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比值来表示。反之，数却可以由几何量表示出来。整数的地位受到挑战，古希腊的数学观点受到极大的冲击。于是，几何学开始在希腊数学中占有特殊地位。

这次由“[2]”引发的数学危机表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的。从此希腊人开始重视演绎推理，并由此建立了几何公理体系，这不得不说是数学思想史上的一次革命。

（作者单位：江苏省常州市第二十四中学天宁分校）