高考中排列组合问题的解法归类研究

张若琦 (云南师范大学,云南 昆明 650500)

引 言

近年来，虽然“统计与概率”知识在高考中的分值逐年递减，可是排列组合问题在如今不分文理八省改革中仍作为单选题出现，它的得分往往是学生客观题得高分的关键所在.课标中要求“理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数计算公式和组合数的性质，并能利用它们解决一些简单的应用问题”.学生在学习性质意义的时候往往很轻松，可以将知识融会贯通，但是在知识的应用中却存在各种各样的问题.教师在此部分教学时应该多关注学生的认知水平，并注意课堂上例题和课下作业习题难度的递进，将习题进行考点归类，便于学生更好地理解.希望以下我总结的考点归类能给学生和教师带来新的灵感.

一、计数原理的应用

计数原理问题的掌握程度直接影响排列组合问题的解题灵活度，在此部分，一定要熟知计数原理的意义和性质，教师在教学过程中不要将计数原理和排列组合割裂开，它们之间的联系是很紧密的，常常以两者结合的形式出现在考题中.因此，在排列组合考点归类中，我先列举了计数原理的两个例题，使学生在探究排列组合问题之前，回顾以下计数原理：分析此类问题时，如果判断完成一个事件需要几个方案，那么需要用到分类加法计数原理；如果判断完成一个事件需要几个步骤，那么需要用到分步乘法计数原理.

例1现有黑、白、红三种颜色的小球各两个，把它们放置到三行两列的格子里，要求每行的颜色互不相同,每列的颜色也互不相同,则不同的放置方法共有( ).

A.12种 B.15种 C.24种 D.48种

例2现有6名同学可以选择5个不同的兴趣小组，每名同学可随意选择其中一个小组,共有( )种不同选法.

A.56B.65

解析利用分步乘法计数原理.首先观察每名学生有几种选择，了解到每名学生都有5种选择，故不同选法的总数有5×5×5×5×5×5=56(种)，故选A.

二、特殊元素问题——优先法

遇到这类问题时，学生常常一看到“特殊元素”就十分头疼，因为如果没有“特殊元素”，题目就是简单的排列组合，只需要一个排列数或组合数就可得到结果.学生面对稍复杂的问题应该先冷静思考，在心里给自己自信.其实“特殊元素”的融入无非就是需要分步计算，也就是需要将几个步骤的排列数相乘.分析此类问题时，学生首先应该确定特殊元素的排列种数，然后确定剩余元素的排列种数，最后求出总的排列种数.做题时也需要注意，“特殊元素”的选择在同一道题中也可以不同.

例3学校现有7名学生参加文艺演出，5名女生、2名男生，他们轮流上场.若2名男生都不在最初也不在最后上场,那么演出有( )种不同的上场顺序.

两种方法虽然在计算步骤上没有任何区别，可是在分析上截然不同.

例4在2000到7000之间，有________个没有重复数字且能被5整除的奇数.

例5现有6名学生站成一排,要求小明必须站在前两位里，小红不能排在第一位，小李必须排在最后一位,那么排列方式共有( ).

A.32种 B.42种

C.50种 D.56种

需要注意的是，不要因为有两个特殊位置需要考虑就不知道从何下手.在审题时，我们可以发现小李的位置不需要排列.

三、相邻问题——捆绑法

捆绑法的识别标志是“相邻”.学生很容易理解捆绑法的意思，捆绑法对于学生的难点在于审题.在之前的高考题中，学生只要扫一眼题目就清楚地知道可以运用捆绑法.可是，这几年高考题的内容让学生总是云里雾里，虽然出现的题目可以应用捆绑法解决，但是学生在审题时根本没发现，这就需要教师结合学生认知发展水平，引导学生活学活用，使其真切地了解题目的本原性，而不是一味地刷题，采用题海战术.

捆绑法即先将相邻元素捆绑起来，作为一个整体，使其成为一个新元素后再与其他元素进行排列，最后考虑“捆绑”内的元素是否需要排序.这种方法体现了整体思想，可以确保元素紧密相连，排列有序.在运用捆绑法解答相邻问题时，学生要注意明确捆绑对象及排列的顺序.

例6[2021年全国乙卷(理科)]将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶四个项目中进行培训，冬奥会要求每名志愿者仅能分配到1个项目，并且每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有( ).

A.30种 B.60种

C.240种 D.360种

例7某社区安排3名志愿者完成疫苗接种的4项工作，要求每人至少完成1项工作，并且每项工作仅可以由一人负责，则不同的安排方式共有( )

A.6种 B.12种

C.24种 D.36种

例8有不同颜色的6张卡片，现将它们放在3个不同的信封里，如果每个信封放2张,而红卡片和黑卡片放入同一信封，则共有( )种不同的放置方法.

A.12 B.18

C.36 D.54

四、不相邻问题——插空法

和捆绑法正好相反，这类问题只是看起来很难，一旦参透其中，就会恍然大悟.面对此类问题，大部分学生审完题后不知道如何下手，然后就放弃了.可这正是它的“障眼法”.面对此类题，学生仅需要掌握方法，下次遇到的时候，就再也不会慌了.插空法就是先把题目中无要求的元素全排列，然后将题目中有要求的元素分析后插入其中.此类问题要求学生在审题时判断出有限制条件的元素，再进行分析.在例题选择时，我尽可能把此类题型统统列举出来，希望学生认真思考后，面对此类问题能直接拿分，信心满满.

例9某次话剧演出结束后，要求8名女演员和2名男演员站成一排合影留念.有( )种可以安排2名男演员不相邻的排法.

例10某地产公司邀请A，B两个地区的企业参与答谢会，每个地区有三位企业代表.拍照时，若A地区的企业代表甲不站两端，且B地区的三位企业代表有且只有两位代表相邻，则有( )种不同的排序方式.

A.180 B.288 C.432 D.192

例11某学校在演讲比赛第一场过后，选出6名同学进入第二场比赛，其中甲与乙在同一个年部，所以甲、乙两名同学的比赛顺序不能相邻,根据抓阄情况得知甲在乙的后面进行演讲,共有( )种不同的排法.

A.120 B.240

C.360 D.480

五、“至多”与“至少”问题——直接法或间接法

在解答有关“至多”与“至少”的问题时，通常有两种方法：直接法或间接法.直接法是让学生在解决相关的问题时，把重点放在对题目中每个元素的分析上面，这样可以确定相关元素的限制性，更好地寻找其他的元素，结合更多元素进行问题的综合考虑.而间接法则是先让学生忽略题目中给出的一些附加条件，再进行整体的排列组合和相关的数量计算，这样就可以得出一个结果，然后用这个附加条件来计算出一些不符合题目要求的结果，去除这些不合适的结果，这样就可以通过减法得出最后的答案.但需要注意的是，此类题型的做法有很多，学生在审题时，一定考虑好做题的入手角度，在做题过程中，不要忽略任何一种情况，因为是客观题，所以结果是得分的关键.如果在审题时你就发现不只有一种方法，那么选你最拿手的方法来思考，之后在检验时用其他方法.

例12现有13个除颜色外完全相同的小球，其中红色小球8个，白色小球5个.从红色小球和白色小球中各任选出一个，在上面标记月亮的图案.将这13个小球都放在一个大箱子里，任意抽取5个小球，至少有一个小球上有月亮图案的有________种方法.

故填825.

例13(2017年天津高考题)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个.(用数字作答)

故填1080.

结 语

在排列组合的学习中，学生应该在夯实基础知识的基础上，对排列组合的解题方法多钻研、多思考.遇到难题时，首先，我们应该根据问题的本身要求进行判断，确定题目是属于哪一种排列组合题型，即是排列问题，组合问题，还是排列组合问题.其次，确定题型之后，我们要搞清楚题型所采用的计数原理，是分类加法计数原理，还是分步乘法计数原理，进而有针对性地选择解题的方式方法.最后，我们应该认真阅读题目，仔细研究、分析题目中的一些附加条件，明确附加条件是否受到一些元素位置的限定，以防在解决问题时，出现不必要的重复或者遗漏，提高做题的准确性.这样，学生既提高了解题速度和学习质量，也会对数学学习更加感兴趣.