弹性力学应力状态理论求解器开发及应用研究1)

何 峰 任天娇 杨 松 赵 娜

(辽宁工程技术大学力学与工程学院，辽宁阜新123000)

弹性力学课程是普通高校力学类、土木类等理工科本科专业核心课，是从力学基本理论过渡到工程实际应用的桥梁；具有教师难教、学生难学、工程思维和力学思维难兼容的“三难”课程特点。基于课程重要性和特点，众多学者进行了弹性力学教学改革，如张伟伟等[1]提出了弹性力学三段式教学方法，即围绕每一知识点，按照工程背景、数理基础、力学原理进行划分，在教学实施中遵循先工程，后数理，再力学的讲解顺序。潘东辉等[2]将MATLAB/PDE工具箱引入弹性力学教学，实现弹性力学的可视化教学。刘杨等[3]提出了“互联网+ 项目指派” 式教学模式在《弹性力学及有限单元法》的教学中的实践方式和考核办法。陈小亮等[4]利用Maple 软件探索了弹性力学应力函数逆解法的计算机求解规范流程。卢小雨等[5]利用Maple 来求解弹性力学中的一些具体问题。邢静忠[6]将MAPLE 引入力学教学，引导和培养学生利用数学工具的习惯和能力，强化算法设计和程序的通用性和灵活性，为处理复杂问题提供帮助。丁洲祥等[7]详细介绍了计算机代数系统MAPLE 在土力学与基础工程研究型教学中的具体应用。

本文基于吴家龙教授编著的《弹性力学》教材内容和课程特点，以应力状态理论部分的求解斜面应力分量及主应力和最大切应力为例，应用Matlab-GUI 模块，通过编制程序把繁琐抽象的力学公式结果进行图形可视化，从而提升学生学习弹性力学兴趣。

1 应力状态理论[8]

弹性力学的研究对象为三维弹性体，由于满足连续性和均匀性假设，因此从微分单元体分析入手，确定一点不同截面的应力变化规律称为应力状态分析。研究思路是首先确定应力状态描述方法，包括应力矢量定义及其分解为正应力、切应力和应力坐标轴分量，应力张量表示一点应力状态；其次从静力学观点出发，建立平衡微分方程和应力边界条件；任意截面的应力分量确定；应力分量转轴公式；一点的特殊应力确定：主应力和主平面、最大切应力。该部分教学中学生和老师常见问题有：如何直观体现已知方向余弦？如何确定应力主方向、最大切应力微分面方位或已知微分面方程求方向余弦，同时可视化微分斜面？

2 求解器运行原理

(1)微分面三元一次方程系数与其方向余弦关系

式(1)～式(3) 中，F(x，y，z) 为三元一次函数；A，B，C，D 为方程系数；l，m，n 为方向余弦。

(2) 斜面上应力分量(图1)

图1 微分斜面上应力分量

式(4)～式(7) 中，fvx，fvy，fvz为沿坐标轴投影应力分量；l，m，n 为方向余弦；σx，σy，σz，τxy，τyz，τzx为正应力和切应力分量；fv为斜面应力矢量；σv为斜面正应力；τv为斜面切应力。

(3) 主应力、应力主方向和最大切应力及方位

式(8)～式(9)中，I1，I2，I3为应力张量不变量；σx，σy，σz，τxy，τyz，τzx为正应力和切应力分量；σ 为主应力。

式(10)中，l1，m1，n1为第一主应力方向余弦；σx，σy，σz，τxy，τyz，τzx为正应力和切应力分量；σ1为第一主应力。

式(11)中，l2，m2，n2为第二主应力方向余弦；σx，σy，σz，τxy，τyz，τzx为正应力和切应力分量；σ2为第二主应力。

式 (12) 中，l3，m3，n3为第二主应力方向余弦；σx，σy，σz，τxy，τyz，τzx为正应力和切应力分量；σ3为第三主应力。

3 Matlab–GUI 模块应力状态理论求解器及应用

编制基于Matlab-GUI 模块应力状态理论求解器，程序流程如图2 所示。通过该求解器(图3) 可显示应力状态图和微分斜面，通常遇到题型有两种：一种题型为给出方向余弦可求出三元一次方程系数，进而显示微分面方程和斜面图，另一种题型若直接给出三元一次方程及系数也可求出方向余弦和显示微分斜面，同时可求出三个主应力及主方向和最大切应力及方向余弦，可通过主应力微分面按钮，如图4 和图5 所示，分别显示主平面和最大切应力平面，验证主应力所处面切应力是为零，应力矢量和正应力相等，取得最大切应力微面，正应力不一定为零等结论。

已知物体内一点的应力张量为

4 结论

论文结合弹性力学课程特点，力求突破“三难”瓶颈；以弹性力学应力状态理论常见题型为例，Matlab-GUI 模块编制应力状态理论求解器，通过界面物理参数输入和结果显示过程，体现弹性力学中数理求解思路，简化了繁杂的计算过程；同时可形象直观再现和验证学生弹性力学数理计算结果，使得数学力学公式可视化，学生的抽象思维和具象思维达到兼容。最终达到提升学生学习弹性力学兴趣的目的。

图3 应力状态理论求解器

图4 第一主应力微分斜面

图5 最大切应力微分斜面