求解随机微分方程的一个新的数值格式*

2021-03-08 10:12朱伟丹王自强
贵州科学 2021年1期
关键词:拉格朗高阶插值

朱伟丹,王自强

(贵州民族大学数据科学与信息工程学院,贵州 贵阳 550025)

大多数随机微分方程的解析解不容易获得,许多研究者通过构造数值格式来获得数值解,常见的数值解法有Euler法[1],Milstein法[2]等,这些数值解法都是基于Ito随机Taylor展开下在不同的地方截断得到的[3-5],而本文将从一维随机微分方程的积分方程形式出发,结合Simpson公式和Milstein方法的离散思想,建立了一个求解一维随机微分方程的新的数值格式,第一部分给出随机微分方程的高阶数值格式构造的过程,第二部分给出数值运算结果。

1 随机微分方程的数值格式构造

考虑如下一维随机微分方程:

dX(t)=f(X(t))dt+g(X(t))dw(t),0≤t≤T

(1)

满足如下的初值条件:

X(t0)=X0

(2)

其中,f,g分别称为漂移系数和扩散系数,w(t)为标准维纳过程,并且满足以下三个性质[3]:

1)w(0)=0(概率为1);

2)对于0≤s

3)对于0≤s

(1)式可写成如下等价积分形式:

k=0,1,…,N-1

(3)

现对f(X(t))进行构造高阶数值格式,将区间进行离散化,将区间[0,T]划分成N份等分小区间,令t0=0

(4)

利用线性插值法,在区间[t0,t1]上对f(X(t))作如下逼近:

f(X(t))≈ψ0(t)f(X(t0))+ψ1(t)f(X(t1))

(5)

则在区间[t0,t1]上,将(4)式和(5)式代入(3)式得到:

(6)

其中ψi(t),i=0,1为线性插值基函数,定义如下:

(7)

其中:

(8)

在区间[t1,t2]上,利用二次拉格朗日插值法,f(X(t))在[t1,t2]作如下逼近[7]:

f(X(t))

≈φ0,1(t)f(X(t0))+φ1,1(t)f(X(t1))+

φ2,1(t)f(X(t2))

(9)

其中:φi,1(t),i=0,1,2为t0,t1,t2三个点处的二次拉格朗日插值基函数,定义如下:

(10)

将(9)式代入(3)式,令k=1,t=t2得到:

X(t2)

(11)

其中:

(12)

现在进行下一步的格式构造,假设我们已经构造出了X(t1),l=0,1,…,k,利用同样的方法继续构造X(tk+1)如下:

X(tk+1)

(13)

其中:φi,k(t),i=0,1,2;k=1,2,…,N-1为点tk-1,tk,tk+1上的二次拉格朗日插值基函数:

(14)

(15)

其中R是对随机项进行Taylor展开的余项。

由文献[4],记

G1(X(tn))=g(X(tn)),

G2(X(tn))=g(X(tn)+ΔtG1(X(tn))),

则有如下式子:

g(X(tn))g′(X(tn))

(16)

(17)

(18)

设Xk为X(tk),k=0,1,…,N的近似值,把(18)式代入(6)式,(11)式和(13)式,得到如下数值格式:

(19)

2 数值试验

研究如下方程[3]:

dX(t)=f(X(t))dt+g(X(t))dw(t),0≤t≤T

(20)

令:

g(X(t))=μX(t)

此时该方程的精确解为:

X(t)=X(0)exp(λt+μw(t))

在用MATLAB进行数值试验中,我们令λ=2,μ=1,N=27,为了清晰地比较,我们给出了精确解和Milstein法,精确解和修正的Milstein法两个图像进行比较,得到的结果如下:

图1 Milstein法和精确解的比较

图2 改进Milstein法和精确解的比较

表1 平均误差随着时间步长Δt的变化

由表1可知,本文构造的改进的Milstein法要比经典的Milstein法的逼近效果好。

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