向量的数量积教学内容解析

田素 康玥媛

[摘  要] 在学习章建跃先生“基于深化教改要求的数学课堂教学”讲座视频的基础上，文章分析了解析教学内容的重要性，建构了教学内容解析的基本框架，即从整体架构下解析教学内容，知其然——了解基本内容，知其所以然——体会内容本質，何由以知其所以然——深化学生认知.文章以向量的数量积为例，进行具体教学内容的解析.

[关键词] 向量的数量积;教学内容解析;数学教学

章建跃先生是课程教材研究所研究员、中国心理学会教育心理学专业委员会学术委员，曾经担任中学数学教师十年，有丰富的中学数学教学经验，且在全国核心杂志上发表论文百余篇.在天津师范大学承办的2019年“国培”班计划中，章建跃先生开展了“基于深化教改要求的数学课堂教学”主题讲座，在主题四中，深度剖析了教学内容解析的框架及要求，并结合实例介绍了理解知识的三层境界：知其然，知其所以然，何由以知其所以然.

提出问题

2019年国务院办公厅发布的《关于新时代推进普通高中育人方式改革的指导意见》中，第十条明确要求“深化课堂教学改革，提高课堂教学效率，培养学生学习能力，促进学生系统掌握各学科基础知识、基本技能、基本方法.”[1]《普通高中数学课程标准（2017版）》中提到“通过高中数学课程的学习，学生能获得进一步学习以及未来发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验（简称“四基”），提高从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力（简称“四能”）.”[2]

“四基”“四能”的落实已经是当今教学的必然要求，那如何去落实“四基”“四能”呢？章建跃先生在讲座中提到落实“四基”“四能”就等于落实核心素养.“四基”“四能”的落实主要在数学内容教学中来实现，以教学内容为载体引导学生获得“四基”，发展“四能”，形成数学思维方式[3]. 基于此教师对教学内容的解析也就成为一种必要.

向量是近代数学中重要和基本的概念之一，具有物理背景和几何背景，是沟通几何与代数的桥梁，是数学教材中很重要的数学知识[4]. 向量的数量积是向量内容体系中重要的组成部分，涉及向量的模和角度之间的运算. 在人教A版新教材中，正弦定理、余弦定理都应用到了向量的数量积. 向量的数量积在向量体系乃至高中数学体系中起着重要的作用.

基于以上分析，在一节具体的教学内容中如何去解析呢？本文以“向量的数量积”为例，来进行教学内容的解析.

教学内容解析框架

章建跃先生在讲座中提出了解析内容的要求，即理解知识的三重境界：知其然，知其所以然，何由以知其所以然这三个层次. 王光明、米妍提出了整体性数学思维方式，即利用全方位的研究视角去思考知识整体及局部的内在结构[5]. 于漪先生提到，基础教育是整体的，不是分支的，它更重要的是基础，基础是要整体构架的. 章建跃先生主张“一般观念”指导下研究对象，且提出了以“一般观念”为指导研究整体架构[6].

基于以上内容的分析，结合章建跃先生提出的研究内容的整体架构和理解知识的三重境界，来建立教学内容解析的框架，并根据此框架对向量数量积的教学内容进行解析.教学内容解析的框架如图1所示.

教学内容解析的四步骤

1. 整体架构下解析教学内容

整体把握向量数量积的内容，除了分析向量的数量积内容外，还要解析向量数量积在向量内容框架下的位置.所以先对向量内容进行整体把握，再进行向量数量积内容的把握.

向量是兼具“数”与“形”的双重形态，有大小和方向，不仅有数的特征，也有几何的特征.从整体上把握教学内容，章建跃先生提出研究向量的基本套路是：背景→概念→运算及其性质→联系→应用. [6]李昌官以平面向量为例分析了向量教学单元的逻辑主线，即“概念抽象→表示→关系→运算→应用”[7].基于两者的框架基础上，按照“背景引入→概念→表示→关系→运算及运算律→联系与应用”这个架构来分析向量内容.

向量这一章节，从实际背景出发抽象出向量的概念以及一些辅助性概念，如零向量、单位向量等，学生经历从实际背景出发抽象出数学对象的过程[8].概念产生之后就要研究向量的表示，即几何、坐标、符号表示.向量有大小和方向，从大小和位置关系两个角度去研究其关系. 接着研究向量的运算及其运算律，最后运用向量解决几何、物理中的问题.向量的数量积属于向量的运算部分，通过对整个向量架构的分析，从整体把握向量数量积所处的地位和作用.

向量的数量积内容在一定程度上可以参考研究向量的整体架构，鉴于向量数量积的特性，将架构确定为“背景引入→概念→性质→运算性质→联系与应用”.

从背景引入来看，从物理情境引入，从力的做功能抽象出两个向量之间的运算，体会向量与物理之间的联系.从概念来看，通过物理模型，抽象概括出向量数量积的定义. 从向量数量积的性质来看，涉及投影和投影向量.从向量数量积运算性质来看，包括几何性质和代数性质.从联系与应用来看，能根据定义公式求解具体的运算，体会几何与代数的联系. 基于以上分析，在整体架构下对向量的数量积内容有一个完整的把握，有助于教师在一般观念指导下进行教学过程的研究.

2. 知其然——了解基本内容

“知其然”是教学内容解析的第一步，从教学内容的上、下位知识来看，向量的数量积是向量运算的一种形式，向量的数量积的学习完善了向量的运算体系，有利于学生从数的角度去体会研究数学要素的基本方法和思路. 从知识角度来理解，首先从物理背景得出向量数量积的定义，在定义中两向量为非零向量、夹角的概念、两向量夹角的范围、向量的数量积结果是一个数、零向量与任一向量的数量积为零，这些内容都是需要从向量的数量积定义中引申出来的.定义之后，借助几何直观，让学生了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义[9]. 接下来要研究数量积运算的性质，向量运算的性质既有几何性质也有代数性质[10]. 从几何性质方面来说，研究一些特殊的单位向量、共线向量、两向量平行或者垂直时数量积的特性;从代数性质方面来说，类比数的乘法运算，得出向量数量积运算的运算律.最后是向量数量积的应用. 以上这些内容是向量数量积的基本知识内容，把握这些内容是基础，教师对整体内容有了把握之后，再去进一步解析向量的数量积内容，这样才能更好地引导学生“知其所以然”.

3. 知其所以然——体会内容本质

“知其所以然”通俗来讲，是让学生明白知识是如何来的，知识的抽象过程、推导过程是怎么样的. 在真正学习过程中，有的学生只了解向量数量积的表达式，而对于表达式由来的过程并不很理解. 这就需要教师从“知其所以然”的角度对内容进行解析.

如向量的数量积是从物理背景中进行的数学抽象，也就是从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，再用数学语言予以表征[11]. 再比如投影概念的引入，通过力做功的表达式中，类比Fcosθ的物理意义，结合向量积的意义，说出bcosθ的几何意义，进而理解投影的意义. 将数学与物理联系在一起，从物理角度去体会投影，更能加深学生对于向量知识的理解. 所以教师在解析内容时，既要想到如何将知识讲清楚，又要把知识讲透彻，做到教学的准、精、简.

4. 何由以知其所以然——深化学生认知

“何由以知其所以然”是要在“如何使学生想得到”上有所突破，这是解析教学内容非常关键的一步.要引导学生把握知识体系、主动思考、积极提问、自主探究.从而使学生逐步了解研究一个数学对象的基本框架和路径，发展理性思維. 向量的数量积这一节的内容，在教学时要向学生渗透“背景引入→概念→性质→运算性质→联系与应用”整体框架.

数学中引进一个新的量，自然要考虑它的运算及其运算律的问题.由于向量既有大小又有方向，向量运算可以与熟悉的数的运算进行类比，从中得到启发，在前面学习了向量的加法、减法、数乘运算，学生能想到研究向量与向量的乘法是很自然的. 这也就解决了向量数量积内容是如何找到的这一问题.定义了一种运算就要研究这种运算的运算律，也就是向量数量积的运算律.如何使学生想到要去研究运算律呢，此时可以类比向量的加法，学习了向量的加法之后，类比数的加法法则，又去研究了向量的加法满足交换律和结合律. 那在学习了向量的数量积之后，类比数的运算律，再去研究向量数量积的运算律.这一过程就将为何研究运算律解析清楚了.通过“何由以知其所以然”的过程引导学生体会研究数学对象的整体框架，发展学生思维，获得“四基”、发展“四能”.

结论

离开知识的理解和应用，核心素养的发展将成为一句空话[12]. 解析教学内容的目的是准确理解内容的基础上做到教学的准、精、简，因此建立起教学内容解析的框架.

1. 教学内容解析框架：先从整体架构下解析教学内容，然后根据教学内容解析的三重境界逐步完成对教学内容的解析.

2. 从整体架构下解析教学内容：这是教学内容解析的前提，先对教学内容所在章节进行整体分析，再去分析教学内容的整体框架. 如解析向量的数量积内容，先对向量章节进行整体分析，然后对向量的数量积内容进行整体分析.

3. 教学内容解析的三重境界：从“知其然”到“知其所以然”再到“何由以知其所以然”. “知其然”是教学内容解析的第一步，这一步主要了解解析内容的知识有哪些. 仅仅了解知识内容是不够的，还需要“知其所以然”，也就是知道知识的由来过程，体会内容本质.在此基础上，再解决如何使学生想到要学习这一内容，也就是“何由以知其所以然”. 通过这三个步骤，层层解析，步步深入，从而准确理解教学内容，以内容为载体有效开展课堂教学，落实“四基”“四能”，发展学生核心素养.

参考文献：

[1]  国务院办公厅关于新时代推进普通高中育人方式改革的指导意见[EB/OL].[2019-06-19].http：//www.gov.cn/zhengce/content/2019-06/19/content_5401568.htm

[2]  中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[3]  章建跃. 研究三角形的数学思维方式[J]. 数学通报，2019，58（04）.

[4]  林丹，胡典顺. 中美高中数学教材的习题比较及启示——以PEP教材与UCSMP教材中平面向量章节为例[J]. 数学教育学报，2015，24（03）.

[5]  米妍，王光明. 整体性数学思维方式视野下的教材阅读——基于章建跃先生对《实数》一章的教材分析[J]. 数学通报，2017，56（10）.

[6]  章建跃. 核心素养导向的高中数学教材变革（续4）——《普通高中教科书·数学（人教A版）》的研究与编写[J]. 中学数学教学参考，2019（28）.

[7]  李昌官. 基于核心素养的数学单元教学[J]. 中国数学教育，2018（10）.

[8]  刘咏梅. 影响数学观的中学向量概念的教学[J]. 数学教育学报，2009，18（04）.

[9]  薛彬. 体现几何、代数融合提升直观想象、数学运算素养——《普通高中教科书·数学（人教A版）》必修第六章“平面向量及其应用”的教材设计与教学思考[J]. 中学数学教学参考，2020（07）.

[10] 章建跃. 核心素养导向的高中数学教材变革（续7）——《普通高中教科书·数学（人教A版）》的研究与编写[J]. 中学数学教学参考，2020（07）.

[11] 张曜光. 对平面向量数量积发生发展之思考[J]. 数学通报，2017，56（05）.

[12] 章建跃. 核心素养导向的高中数学教材变革（续1）——《普通高中教科书·数学（人教A版）》的研究与编写[J]. 中学数学教学参考，2019（19）.

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