从二次函数教学谈初升高衔接

廖凯

[摘  要] 初中数学和高中数学都涉及了二次函数教学，在初高中两个阶段对其图像和性质的研究都是重点. 只有充分挖掘和分析初高中二次函数的几何性质和代数性质的衔接点，才能保障学生有效掌握二次函数的相关内容. 不仅如此，文章还以初高中二次函数为起点，谈初升高衔接的一些要点.

[关键词] 二次函数;初高中衔接;代数和几何

在初高中数学教学中，存在的衔接点较多，二次函数知识就是其中之一. 在初中数学教学中，对二次函数的要求相对降低了，这让学生在高中阶段对二次函数的理解容易产生混乱，学习二次函数的内容就受到了很大限制. 为了梳理学生对初高中二次函数的理解，保障学生有效掌握二次函数的相关内容，需要将初高中二次函数的几何性质和代数性质的衔接点进行充分挖掘和分析，让学生深入了解数形结合思想，培养其数学思维. 由二次函数在初高中知识体系中的重要性，以及二次函数几何性质和代数性质的融合，本文以初高中二次函数为起点，谈谈初升高衔接的一些要点.

初高中二次函数教学的衔接点

在初中数学教学中，二次函数对学生的要求主要是粗放的函数概念、部分二次函数的图像、二次函数与一元二次方程的部分性质，以及二次函数与一元二次方程的关系和区别. 初中对二次函数的粗放概念是用自变量和因变量来描述的，而高中则是将函数定义在集合上，通过映射来描述. 初中对二次函数图像的要求主要是了解y关于x的三种形式的二次函数图像，会使用描点法画二次函数图像，了解三种形式的二次函数图像的顶点和对称轴;高中讲解的则是抛物线. 在性质上，高中以初中的二次函数和一元二次方程的性质为基础补充了函数的性质以及抛物线的性质，即从特殊性质转向了一般性质. 二次函数与一元二次方程的关系和区别，初中和高中的要求可以说是同等的，但初中的教学模式大部分是粗放型的，并未讲清函数与方程的关系和区别就进入了性质的教学，不仅如此，具体的研究对象、研究方法以及研究内容缺少了一元二次不等式. 从以上分析可以看出，对初高中二次函数教学需要衔接的知识内容主要有三点：一是二次函数与一元二次方程的关系和区别;二是二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的一体化;三是初中教学的二次函数图像与抛物线的子集关系.

对初中生来说，第一个衔接点——二次函数与一元二次方程的关系和区别，是函数与方程的关系和区别的特殊情况，所以需要先让学生回忆和熟悉函数与方程的概念的本质：一个是变量的关系，一个是等式;一个属于非确定值代数，一个属于确定值代数. 接着通过二次函数的图像（形）和一元二次方程的根（数）突出数形结合思想在建立二次函数和一元二次方程联系中发挥的纽带作用.

第二个衔接点——二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的一体化，这是第一个衔接点的思维晋级，即补充一元二次不等式条件，将其与二次函数、一元二次方程的关系能用图形和表格描述出来. 这样的描述可以二次函数为主体，分一元二次方程和一元二次不等式对应二次函数数值为零和不为零这两种情况进行研究和讲解. 研究和讲解的主要知识点是二次函数的零点、一元二次方程的根与一元二次不等式的解集（如图1）. 另外，通过二次函数的图像可以将三个“二次”具象化.

第三个衔接点——初中教学的二次函数图像与抛物线的子集关系，指通过二次函数的形式和图像与抛物线比较，让学生明白初中学习的二次函数的形式和图像只是高中的抛物线知识的一部分，抛物线也同样只是曲线的一部分，使得学生对高中的“曲线与方程”的理论学习有所预拟.

衔接过程中需要关注的要点

1. 基础知识的夯实

无论是学习还是考查，都是以基础知识着手，提升解决能力，衔接过程作为知识过渡过程，它面临着初中和高中两个阶段知识的共同探究，而且高中阶段更加倾向于培养学生的思辨行为，这些都需要初中学生夯实的基础知识的支撑. 例如，在学生了解二次函数与一元二次方程的关系和区别時，学生对函数和方程的概念本质的回忆与熟悉，出发点就是等式、变量、代数等，这些都是初中需要掌握的基础知识. 在初中阶段学习二次函数时，关于函数、方程、不等式等方面的知识衔接所形成和培养的化归思想、方程思想、数形结合思想等能促进高中阶段学生的学习.

2. 从学生的立场出发

在教学中，教师应从学生的立场出发，在学生的学习兴趣、思维层次上实施教学，启发和引导衔接过程中学生对教材的二次开发，培养学生形成自己的学习思路. 这样教师需要精心设计每节课，通过不同的教学活动、教学手段、评价方法，将粗糙的知识精细化，将静态的知识动态化，让学生历经数学知识和思维形成的过程. 学生的立场会随着课程环节的变化而改变，若教师要掌握学生的立场则离不开问题的针对性，即需要针对细化的知识点设置不同的问题. 例如，复习旧知识时用“设问”，提出新问题时用“疑问”，引导学生解决问题时用“追问”，启发学生深入思考时用“反问”. 这也就说明，在衔接过程中，教师要将知识点和问题融合一起再展现给学生进行学习.

3. 从形象思维到抽象思维

从初中数学教学到高中数学教学，是学生从形象思维转化到抽象思维的过程. 所以在初中数学教学过程中，若能将学生的形象感知和抽象思维有机地结合起来，则可以降低和减少学生学习高中知识的障碍. 从形象思维转化到抽象思维的过程是由浅到深、由简单到复杂的层层递进的过程，因此教学时需从学生的感官出发，促进学生形象思维的延伸，培养和提升学生的分析能力、逻辑思维能力、判断能力、概括能力等，最终形成和提升抽象思维能力. 例如，从二次函数的图像开始，通过图像分析、逻辑思考三个“二次”，判断并求解二次函数的零点、一元二次方程的根和一元二次不等式的解集，概括函数、方程、不等式的特质，最终了解三个“二次”，这是为学习和扩展高中的集合、函数、不等式、抛物线等抽象知识累计经验. 虽然形象思维和抽象思维是两种截然不同的思维方式，但形象思维是抽象思维的基础，即学生从具体数学概括到抽象数学;抽象思维是形象思维的纽带，即学生依据抽象特点在现实中寻找事物而感知.

4. 集中思维和发散思维

集中思维，又称为求同思维或聚敛思维，即从已知的种种信息中产生一个结论，从现成的众多材料中寻找一个答案. 发散思维，又称为辐射思维、扩散思维或求异思维，即思维从多个方向向外延伸、扩展，从多个维度、角度思考解决问题的方法. 在教学过程中，集中思维和发散思维总是会交替出现和动态结合. 比如高中二次函数的教学，从初中阶段二次函数的多种具体“形”转化为高中的“数”概念——抛物线的概念，能体现学生的集中思维;在例题的解析和习题的练习中，从题目的二次多项式条件和所求的最值结论得到初中所学的函数方法和方程方法，能体现学生的发散思维;从多种解题方法中选择最佳的一种解法，能体现学生的集中思维;若学生能将原题通过条件、结论、背景等的改变而编制一系列的变式题，则能体现他们的集中思维和发散思维. 由此可见，无论是新概念的引入还是习题的解答，集中思维和发散思维都在不自觉中交替使用，将初中阶段的知识集中，在高中阶段发散，让初升高的知识无缝衔接.

5. 知识的网络化、结构化

教育心理学家布鲁纳强调，“不论我们选教什么学科，务必使学生理解该学科的基本结构. ‘教学’与其说是单纯地掌握事实和技巧，不如说是教授和学习结构”;他还指出，“掌握事物的结构，就是以允许许多别的东西与它有意义地联系起来的方式去理解它. 简单地说，学习结构就是学习事物是怎样相互关联的. ”所以笔者认为，在初升高的知识衔接过程中，知识衔接点作为知识网络、知识结构形成的节点，对其进行挖掘和分析而建构知识网络、知识结构更加能够帮助学生体验知识的相互关联，这种体验过程所积累的经验对学生将来的学习和发展具有积极的引导作用，也是学生自我导向学习的关键环节之一.

总而言之，初升高的知识衔接，需要初中教师和高中教师的相互教学体验，在实践教学过程中以夯实学生的基础知识为出发点，找寻知识衔接点;在分析衔接点时，不能简单地以知识点为载体进行技巧输出，而应该以培养和发展学生的数学思维为教学主线.

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