培养转化意识 提升数学素养

2021-03-22 02:14张道霞
数学教学通讯·高中版 2021年9期
关键词:数学素养转化数学思维

张道霞

[摘  要] 转化既是重要的数学思想,也是学生必备的数学技能. 文章以类比、数形等常见转化策略为例,阐述了转化在揭示问题本质、优化解题策略、提升解题能力等方面的积极作用. 因此教学中教师要重视培养学生数学转化意识和转化能力,以此来提高其数学思维和数学素养.

[关键词] 转化;数学思维;数学素养

数学教学常强调解题能力的提升,但解题能力实为一种转化能力,即将陌生难懂转化为熟悉易懂,将抽象转化为直观,将顺向思维转化为逆向思维等,通过对问题的恰当转化提升解题能力. 数学转化的方法较多,笔者不一一列举,本文选取了几个常见的转化方法进行剖析,以期引起同行的重视.

[?]类比转化

类比是数学教学的常用手段,通过对属性相近问题的类比,不仅可以让学生发现知识点间的内在联系,又可以发现其本质的区别,从而让新知与旧知在碰撞中不断沉淀和升华.

案例1:探究几何概型计算公式

如图1,AB是一条长3米的线段,线段AB上的5个等分点P,P,P,P,P将线段分成6等份,现从5点中任取一点,求其到顶点A和顶点B的距离不少于1米的概率.

为了激发学生探究的热情,加快探究的速度,教师设计了如下问题情境:

师:请说出基本事件及其总数(问题简单,很快有了答案)

生1:基本事件为取点,总数是5.

师:若记“选取的点到顶点A和顶点B的距离都不少于1米”为事件A,则满足事件A的总数有多少个?

生2:有3个,即P,P,P.

师:谁能求出P(A)呢?

生3:P(A)=.

师:通过上面的问题,你能总结一下该概率模型有什么特点吗?(同学们开始讨论并进行总结和归纳)

生4:其基本事件是有限的,且每个事件发生的概率是相同的.

师:总结得很好,我们称这样的概率模型为古典概型.

师:如图2,若是在AB上任取一点,那么会发生什么变化呢?

通过与上面问题相类比,学生发现虽然基本事件都为取点,并且发生的可能性是相等的,但满足该事件的点却有无限多个,因此该概率模型不再是古典概型.

师:若记“选取的点到顶点A和顶点B的距离都不少于1米”为事件B,若继续用古典概型可以得出答案吗?

生5:P(B)=事件B的个数÷基本事件的总数,但两者都是无数个,故无法算出.

师:很好!参考图1,你知道任取的点对应哪部分线段吗?

生6:应该是线段PP.

师:如图3,将P和P转化为C,D,则C,D为线段AB的三等分点. 线段AB上的点为基本事件的总数,线段CD上的点为事件B的总数. 根据这个条件,是否可以将“无限”转化为“有限”呢?

生7:是否可以将个数转化为份数呢?

在猜想、尝试、争论下,学生将1份线段长度上的无数个点看为一个整体,进而得出P(B)=. 通过类比使学生的思路更清晰,对古典概型的成立条件有了更加深入的了解,同时对非古典概型的转化也有效地提升了学生思维的变通性,因此,在数学教学中要让学生多观察、多联想、多类比,进而让学生获得更好的数学体验,提升学习信心.

[?]数形转化

数中有形可以使数更加直观,形中有数会使形更加具体,两者相互依存,协同发展. 教师在教学中要引导学生通过观察、挖掘等手段让数与形完美融合,即通过数形转化将未知转化为符合学生认知的,与已有经验匹配的数量关系,从而提升解题能力,活化思维.

案例2:已知a>0且a≠1,f(x)=x2-ax,当x∈(-1,1)时,均有f(x)<,求实数a的取值范围.

题目给出后,大多数学生应用了直接代入法,即将f(x)=x2-ax代入条件f(x)<,得x2-ax<,但代入后,如何解呢?学生感觉无从下手,看来若本题单纯从数的角度出发难以解决,因此需要另辟蹊径. 形往往是数的最直观表达方式,通过数形转化往往会收获到意外的惊喜,故学生尝试从形的角度去思考问题,但不等式x2-ax<的左边既有二次式又有指数式,这样的图形很难找出,思维再次受阻,需要进行转化,如何才能将其转化为熟悉的模型呢?教师留时间给学生进行分组探究,最终找到解决问题的方案.

生1:可以将原不等式x2-ax<进行变形,得x2-

师:非常好. 通过生1的转化,将问题转化为我们熟悉的,够得着的模型了. 那么现在是否可以直接画出图形呢?

生2:根据不等式与函数的关系可知,在区间I上,若f(x)

师:很好,请大家画出函数图像. (教师引导学生进行分组绘制,接下来展示成果,如图4)

图像画出后,学生根据图像寻找解题信息,即若当01时,f(-1)

,1∪(1,2).

数形转化思想是数学的重要思想之一,本题从数出发,在求解碰壁后,用形的观点来重新审视题目,通过对数的转化和重组,将其转化为学生熟悉的函数模型,进而将抽象、复杂的数量关系转化为直观、简单的几何图形,从而找到了解决问题的方法. 在此过程中,充分地让学生体验了数形结合的优势,让学生在交流和沟通中学会了分析和探索,使学生真正地理解了转化是为何而转.

[?]辩证转化

已知与未知、部分与整体、动与静、具体与抽象等数学内容往往既对立又统一,其有明显的界线,但又有密不可分的联系,只有将其辩证统一才能顺利解决问题,因此,当正面思维受阻时不妨换个角度,大胆地尝试,打破原有思维的束缚,逆向而行,从反面的角度思考和解决问题,也许会出奇制胜.

案例3:已知3条抛物线的解析式如下:

①y=x2+2ax+a2-a+3;

②y=2x2-(4a-2)x+2a2-a;

③y=x2-(2a+1)x+a2+2.

若三条抛物线中至少有1条与x轴相交,求实数a的取值范围.

若有1条与x轴相交则可以是①与x轴相交,或②,……①②③同时与x轴相交,所以共有7种可能,故若在此基础上直接分类讨论,其分类讨论的过程将会特别复杂,很容易将思路带入死胡同,显然本题从正面入手很难求解. 教师通过引导,以期学生找到新的解决方案.

师:从“至少有1条”你可以解读出什么信息呢?(反应快的学生已经有了答案)

生1:3条抛物线都与x轴不相交.

师:很好,转化后7种方案变为1种,显然这样不仅可以提升解题效率,也可以提高解题正确率. 接下来如何求解呢?

生2:3条抛物线都与x轴不相交,则Δ<0,即:

(2a)2-4(a2-a+3)<0,

[-(4a-2)]2-4·2·(2a2-a)<0,

[-(2a+1)]2-4(a2+2)<0,解得

所以当a≤或a≥时至少有1条与x轴相交.

本题的难点就是将“至少有1条与x轴相交”转化为“3条都与x轴不相交”,通过对立的辩证分析,不仅减少了解题步骤,也降低了求解的难度,使求解过程获得了柳暗花明的效果.

[?]表征转化

在解答同一问题时往往出现不同的解决方案,其主要原因就是同一个数学对象往往存在着不同的数学表征,因学生的认知结构不同,数学经验不同,因此对信息的加工和反馈也往往不同,那么,为了找到最优的解决策略,拓展学生的视野,教师在教学时要善于利用表征转化引导学生多角度观察、多角度探究,进而将问题转化为自己熟悉的、等价的问题,以此既可以提升解题能力,也可以培养思维的灵活性.

案例4:不等式ax2+bx-10<0的解集為{x

-2

题目解析:本题若顺势求解,则需要讨论含参数a,b的二次不等式ax2+bx-10<0的解集,显然此种方法很烦琐,不易于控制,因此需要变换角度,转换思路. 若将ax2+bx-10<0转换为ax2+bx-10=0,则根据解集可知,-2和5就是方程的解,故可以将其从方程的角度重新定位思考,从而寻找最佳解题方案.

解题过程:根据不等式ax2+bx-10<0的解集为{x

-2

4a-2b-10=0,即求得a=1,b=-3. 部分学生也尝试用根与系数的关系进行求解,两种方法解题后所得答案相同.

数学知识点间往往存在着一定的逻辑性和关联性,因此,教师要引导学生关注问题间的内在联系,引导学生从整体和全局去看待问题,从而实现知识间的合理转化与迁移,提升解题能力. 如本题就利用了不等式和方程间的内在联系,由不等式的解集联想到方程的根,即通过表征对已知进行加工,通过视角的转化解决难题,优化解题策略.

总之,转化是数学学习的重要特征,也是数学思想的重要组成部分,教师在教学中要注重引导和渗透,这样既培养学生良好的思维习惯,又发展学生的数学思维,有利于提升学生的综合能力.

猜你喜欢
数学素养转化数学思维
关于当下小学低年级学生数学素养的培养方案
初中数学教学之二三思
让小学数学活动绽放数学思维
浅谈学困生的转化
浅谈演员“第一自我”与“第二自我”的转化
高等数学的教学反思
如何培养小学生数学素养
后进生转化和提升的实践与思考
数学归纳法在高中数学教学中的应用研究
培养数学意识发展思维能力的研究