追本溯源，重构学习，促进学生思维发展

李蕾

【编者按】HPM，意指研究数学史与数学教育关系的领域。随着发展学生核心素养理念的逐步深入，越来越多的教师意识到，将对数学史的相关研究融入小学数学教学，不但有利于厘清数学知识演化脉络、协助学生完成知识建构等传统教学中较为棘手的问题，对于学生数学思维的成长亦有十分显著的帮助。本期话题围绕HPM与学生数学思维成长展开探讨。

教学史展现了不同方法的成败得失，教师通过历史来获取教学启示，在教学中合理融入数学史，能帮助学生获取最佳学习路径，拓宽思维，更深刻地理解数学，获得真知灼见，并让数学变得人性化，激发学生的学习兴趣。因此，数学史是有效的教学工具。分数除法是小学数学教学中的难点，《九章算术》及魏晋时期刘徽的《九章算术注》中就蕴藏了中国古代关于分数除法计算的先进思想方法，利用史料，重构学习，可以帮助学生深度理解“颠倒相乘”法的来历，实现算理融通，算法融合，促进学生思维进阶，发展数学核心素养。

一、解析教材，厘清教材编排的顺序

北师大版小学数学教材在五年级下册安排了分数除法相关内容，教材编排分两步，第一步探究分数除以整数的情况，沟通乘除法之间的联系。第二步探究分数除以分数单位的情况，归纳出运算法则。其中，第二步的探究选择了整数除以分数单位的情况，这是分数除法中比较好理解的一種特殊类型，把从特殊类型中研究得来的计算方法在具有普适性的算理图中验证，设计思路很好，可惜在验证环节除数仍然选择了分数单位这种特殊分数。整体探究上欠缺了对除数是一般分数类型的研究，就把从特例中发现、验证得到的计算方法推广为一般分数除法的运算法则。这个推理过程属于不完全归纳，从特殊到一般，逻辑上不严密，加上探究没有涵盖分数除法的所有类型，没有体现分数除法通法通则的推导过程，给学生的知识构建留下思维“缝隙”，也使分数除法成为教学难点。

二、回溯历史，明晰算法产生的顺序

在世界数学史上，中国是最早形成分数理论的国家，公元1世纪前后成书的《九章算术》就记载了分数通分、约分、大小比较和四则运算的规定。“方田”章第17、18题中出现的“经分术”，记载了带分数除法的计算方法，即把带分数先化成假分数，再通分，把被除数和除数都化成同分母分数，只把两个数的分子相除即可。这个计算过程运用了转化思想，把较难计算的分数除法转化成容易计算的整数除法，算理理解容易，算法过程清晰。事实上，《九章算术》中介绍的分数加、减、除三种运算都采用“有分者通之”的方法，即先通分，再计算，思维过程清晰易懂。

刘徽在为《九章算术》做注解时，在“经分术”的基础上提出“散分”。他解释“散分”就是“令两分母相乘法实也”，用字母表达就是：

可见“散分”就是给被除数和除数通分。书中还说到这样的计算过程：“又以法分母乘实，实分母乘法。此谓法、实俱有分，故令分母各乘全内子，又令分母互乘上下。”这句话的意思用字母表达就是：

这就是分数除法计算“颠倒相乘”法的来历。刘徽提出的“颠倒相乘”法优化了“经分术”的计算过程，使运算更合理简洁，此后广为流传。

现行大多数教材都汲取了我国古代算学思想的精华，编排了分数计算中最合理简洁的算法。但部分教材在编排中缺失了“经分术”的介绍，导致“颠倒相乘”法的探究过程思维跨度大，逻辑推理欠严密，给学生深度理解算理、正确掌握算法带来困难。浙教版教材和台湾地区教材中都编排了借助通分计算分数除法的方法，这就是对“经分术”的传承。通分法不用借助算理图就能说清楚分数除法的算理，还体现了先统一分数计数单位再运算的思路，与整数、小数四则运算的算理一脉相承。

三、以史为鉴，重构教学设计的顺序

基于HPM理念的分数除法教学重构力图紧密结合教材编排序，科学嵌入数学知识发展序，精准把握学生认知序，实现“三序合一”，引导学生经历分数除法计算方法发生、发展的关键步骤，感受知识演变的思维历程，跨越思维障碍，学会用数学的眼光观察、用数学的方法思考、用数学的语言表达，借助知识学习，促进思维发展，落实数学学科育人的总目标。教学重构主要环节设计如下：

（一）复习回顾，激活经验，设疑启思，从整体入手思考

由分数加、减、乘法复习导入，体会先通分后计算的步骤，经历约分、通分的过程，唤醒旧知。再抛出问题：分数除法怎样计算？启发学生从分数四则运算的整体入手思考，带着已有经验走进新知识的学习。

（二）动手操作，探究新知，归纳数学思考，学会数学表达

创设故事情境，引出问题一“42”，采用“做中

学”的教学理念，让学生利用直观学具操作，在“分一分”和“算一算”中探究出分数除以整数的第一种情况（分子能除尽）的计算方法。再引出问题二号，引导学生继续直观操作，探究分数除以整数的第二种情况（分子除不尽）的计算方法。探究中教师要注重引导学生理解计算的意义，借助操作进行思考，以算理图直观呈现思考过程，并学习用数学语言初步总结出计算方法：除以一个整数，等于乘这个数的倒数。随后追问：所有分数除法算式都能这样算吗？把学生的思考引向深处，启发学生验证自己的发现是否具有普适性，并进一步完善数学表达为“除以一个不为零的数，相当于乘这个数的倒数”。本环节设计重在让学生在具有现实意义的情境中思考，在动手操作中体会算理，在自主探索与合作交流中发现算法，在利用直观算理图和数学语言表达中深化思维，积累探究与发现的数学活动经验，发展探究和思考的能力。

（三）对话历史，深度思考，明晰算法渊源，感受数学思想

继续引出问题三“号÷二”，让学生利用学具动手操作，探究同分母分数相除的计算方法，概括出：同分母分数相除，可以直接把分子相除，也可以乘除数的倒数。最后引出问题四“号：？”，先启发学生现，这是异分母分数相除的类型。再放手独立探究，组织全班交流算法，理解不同方法的道理。其间根据时机呈现中国古代分数除法“经分术”和“颠倒相乘”法的计算方法。《九章算术》中“经分术”的计算过

刘徽在《九章算术注》中“颠倒相乘”法的计算过程是：

教师引导学生将自己的算法和古代数

学家的进行比较，通过算式变形进行形式化推理：

就是“顛倒相乘”法的算理，“颠倒相乘”法就是“经分术”的进阶，并举例验证，把直观感知归纳得来的经验提升到理性思考水平，在形式化推理中发现“通分”和“颠倒”之间的关联。这样的设计能帮助学生深入理解“颠倒相乘”法的来历，并在对比中体验到“经分法”虽然道理好理解，但是在数字较大时，通分会使数字变得更大，计算起来比较繁琐，这就是刘徽改进“经分术”的起因，也是它最终退出历史舞台的原因。

个体知识的发生遵循人类知识的发生过程。数学史上分数除法先有“经分术”，后来才经过优化产生了“颠倒相乘”法。本环节教学设计遵循历史发生原理，引入“经分术”，让学生经历自主探索算法、合作交流多样算法的过程，在古今算法比较中实现自主优化，领悟算法更替中蕴含的数学思想，感受“知识之谐”和“方法之美”。在同分母分数除法的探究中，学生是通过直观操作归纳出算法的;在异分母分数除法的探究中，学生既运用了“转化”思想，把异分母分数通分转化成同分母分数来计算，还采用了归纳法，发现了“颠倒相乘”的计算方法;在两种方法的对比中，学生运用算式变形进行推理，这种方法对所有分数除法都适合，具有一般性，属于演绎论证的方法。在这里，学生的思维路径不是线性的，而是多角度的。学生在数学思考中综合运用归纳和演绎论证的方法，既实现深度学习，发展了思维能力，又有利于体会“探究之乐”。以刘徽为代表的中国古代数学家对计算方法“合理、简洁”的追求，会激发学生的民族自豪感，数学精神的教育也渗透其中。

（四）放眼世界，发散思维，感受算法流变，激发文化自信

教师提问启思：计算分数除法你还有什么好办法？世界上其他国家是怎样计算分数除法的呢？然后结合学生讨论，出示世界地图，介绍公元12世纪印度数学家婆什迦罗在《丽罗娃提》中记载的方法：

让学生发现这与我国的“颠倒相乘”法一致，了解古代中国先进文化流传到印度的历史推断。接着介绍公元15世纪阿拉伯数学家阿尔·卡西关于分数除法的计算方法：

引导学生发现，该算法的算理与我国《九章算术》中的“经分术”完全相同。教师通过介绍不同时期的有关分数计算的数学史料，让学生体会分数除法计算方法在世界数学发展史中的源流。最后介绍公元13世纪意大利数学家斐波那契《计算之书》中记载的几种分数除法：0D（同乘法）号

让学生感受同一问题的不同思考角度将产生不同的计算方法。

本环节数学史料的融入重在让学生放眼世界，发散思维，从人类文明的角度审视不同方法背后蕴含的文化内涵，感受到数学知识不是写在教科书中一成不变的教条，而是充满人情味，有传承也有发展，体会数学学习的“文化之魅”，同时进一步了解中国古代数学先进的思想方法曾远播世界并为世界数学发展做出巨大贡献的真实历史，落实学科育人的“德育之效”。

（五）构建关联，融通融合，体会运算本质，发展多维思考

教师带领学生回顾整数四则运算，感受运算要在相同计数单位下才能进行的本质。再把学生的思考引向曾经学过的小数四则运算以及今天学习的分数四则运算，打通整数、小数、分数四则运算的壁垒，理解所有运算的本质都是“对同一计数单位的运算”这一道理。这样的重构可以跳出浅表学习和机械运用，深化学生对分数除法算理的理解，内化学生对算法的掌握，帮助学生构建分数除法与之前学习过的其他运算之间的联系，从知识统整的角度构建学习网络，将方法层面的感性认知提升到整体规律性的理性感悟，把单一知识的学习导向“数的运算”这一大概念的整体构建，深化学生对运算的理解，实现整数、小数和分数四则运算的“算理融通，算法融合”，促进深度学习，发展学生多维度思考问题的能力。

（作者单位：长安大学附属小学）